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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.6 - Ex. 4b

Neste problema, vamos mostrar que a convergência pontual de uma sequência Sn(x) não implica convergência na média e reciprocamente.

Seja Sn(x) = x^n para 0 ≤ x ≤ 1 e seja f(x) = 0 para 0 ≤ x ≤ 1. Mostre que

e, portanto, Sn(x) converge para f(x) na média. Mostre, também, que Sn(x) não converge para f(x) pontualmente em 0 ≤ x ≤ 1. Logo, a convergência na média não implica convergência pontual.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

S n x = x n

Para a função, temos que:

R n = ∫ [ f ( x ) - S n x ] ² d x = 1 2 n + 1

l i m ⁡ S n = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

∫ f ( x ) - S n x 2 d x = ∫ 0 - S n x 2 d x

R n = 1 2 n + 1    

Resposta

R n = 1 2 n + 1

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