Considere o problema de valores de contorno.

Encontre uma solução formal para o problema não homogêneo

em que f é uma função dada, contínua em 0 ≤ x ≤ 1, e μ não é um autovalor do sistema homogêneo associado.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

- x y ' ' = μ x y + f x

Para λ = 0

y x = b 0 + ∑ b n   J o λ n x  

Usando a definição das condições de contorno, tiramos:

- x y ' ' = x ∑ λ n b n   J o λ n x  

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

f x x = c 0 + ∑ c 0   J o λ n x  

c 0 = ∫ f x J 0 λ n x d x ∫ x   J 0 2 λ n x d x

b 0 =   - c 0 μ

b n = c 0 λ n - μ

y x = - c 0 μ + ∑ c 0 λ n - μ   J o λ n x  

Resposta

y x = - c 0 μ + ∑ c 0 λ n - μ   J o λ n x  

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