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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.4 - Ex. 16

Em cada um dos problemas de 15 a 22:

(a) Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.

(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

16.

f x = x , 1 ,                 0 < x < 1 1 < x < 2       s é r i e   e m   s e n o s ,   p e r í o d o   4

Passo 1

(a) Fala galera!!!

A equação fornecida é a seguinte:

f x = x , 1 ,                 0 < x < 1 1 < x < 2

Queremos encontrar a série de Fourier para senos e esboçar o gráfico da função. Assim, precisamos encontrar o coeficiente b n para a extensão impar de período 2 L da função f x .

Passo 2

Agora, vamos calcular o coeficiente b n . Para isso, podemos usar a seguinte relação fornecida no livro:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x                           n = 1 ,   2 ,   …

Em que a f x pode ser dada como uma série de Fourier da seguinte forma:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

Para este caso, L = 2 .

Passo 3

Então, temos que b n é o seguinte:

b n = 2 2 ∫ 0 2 f x sen ⁡ n π x 2 d x

b n = ∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2 d x + ∫ 1 2 1 sen ⁡ n π x 2 d x

b n = ∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2 d x + ∫ 1 2 sen ⁡ n π x 2 d x

b n = - 2 x n π cos ⁡ n π x 2 + 2 n π 2 sen ⁡ n π x 2 0 1 + - 2 n π cos ⁡ n π x 2 1 2

b n = - 2 n π cos ⁡ n π 2 + 2 n π 2 sen ⁡ n π 2 + - 2 n π cos ⁡ 2 n π 2 + 2 n π cos ⁡ n π 2

b n = - 2 n π cos ⁡ n π 2 + 2 n π 2 sen ⁡ n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π + 2 n π cos ⁡ n π 2

b n = 2 n π 2 sen ⁡ n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π

b n = 2 n 2 π 2 2 sen ⁡ n π 2 - n π cos ⁡ n π

Passo 4

Substituindo, os termos encontrados na relação fornecida no passo 2, temos que a série de Fourier para um a extensão par de f x é a seguinte:

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 π 2 2 sen ⁡ n π 2 - n π cos ⁡ n π sen ⁡ n π x 2

Passo 5

(b) Podemos esboçar o gráfico da função na qual a série converge em três períodos da seguinte maneira:

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 π 2 2 sen ⁡ n π 2 - n π cos ⁡ n π sen ⁡ n π x 2

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Em cada um dos problemas de 15 a 22:(a) Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.15. f x = 1