Enunciado

Em cada um dos problemas de 15 a 22:

(a) Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.

(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

15.

f x = 1 , 0 ,                 0 < x < 1 1 < x < 2       s é r i e   e m   c o s s e n o s ,   p e r í o d o   4

Compare com o Exemplo 1 e o Problema 5 da seção 10.3.

Passo 1

(a) Fala galera!!!

A equação fornecida é a seguinte:

f x = 1 , 0 ,                 0 < x < 1 1 < x < 2

Queremos encontrar a série de Fourier para cossenos e esboçar o gráfico da função. Assim, precisamos encontrar os coeficientes a 0 e a n para a extensão par de período 2 L da função f x .

Passo 2

Agora, vamos calcular os coeficientes a 0 e a n . Para isso, podemos usar a seguinte relação fornecida no livro:

a 0 = 2 L ∫ 0 L f x d x

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x                           n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Em que a f x pode ser dada como uma série de Fourier da seguinte forma:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L

Para este caso, L = 2 .

Passo 3

Podemos calcular a 0 da seguinte maneira:

a 0 = 2 2 ∫ 0 2 f x d x

a 0 = ∫ 0 1 1 d x + ∫ 1 2 0 d x

a 0 = ∫ 0 1 d x

a 0 = x 0 1 = 1

Passo 4

Então, temos que a n é o seguinte:

a n = 2 2 ∫ 0 2 f x cos ⁡ n π x 2 d x

a n = ∫ 0 1 1 cos ⁡ n π x 2 d x + ∫ 1 2 0 cos ⁡ n π x 2 d x

a n = ∫ 0 1 cos ⁡ n π x 2 d x

a n = ∫ 0 1 cos ⁡ n π x 2 d x

a n = 2 n π sen ⁡ n π x 2 0 1

a n = 2 n π sen ⁡ n π 2

Passo 5

Substituindo, os termos encontrados na relação fornecida no passo 2, temos que a série de Fourier para um a extensão par de f x é a seguinte:

f x = 1 2 + ∑ n = 1 ∞ 2 n π sen ⁡ n π 2 cos ⁡ n π x 2

Vamos abrir a série da seguinte maneira:

f x = 1 2 + 2 π sen ⁡ π 2 cos ⁡ π x 2 + 2 2 π sen ⁡ 2 π 2 cos ⁡ 2 π x 2 + 2 3 π sen ⁡ 3 π 2 cos ⁡ 3 π x 2 + 2 4 π sen ⁡ 4 π 2 cos ⁡ 4 π x 2 + 2 5 π sen ⁡ 5 π 2 cos ⁡ 5 π x 2 + …

Temos que seno de π , 2 π , 3 π , são zero. Assim:

f x = 1 2 + 2 π cos ⁡ π x 2 - 2 3 π cos ⁡ 3 π x 2 + 2 5 π cos ⁡ 5 π x 2 + …

Podemos perceber que a serie ela muda de negativo para positivo e temo apenar temos impares. Assim, podemos rescrever a somatório da seguinte maneira:

f x = 1 2 + 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n - 1 cos ⁡ 2 n - 1 π x 2

Passo 6

(b) Podemos esboçar o gráfico da função  f x da seguinte maneira:

Resposta

f x = 1 2 + 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n - 1 cos ⁡ 2 n - 1 π x 2

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