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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.4 - Ex. 26

Em cada um dos problemas de 23 a 26:

(a) Encontre a série de Fourier indicada na função dada.

(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

(c) Faça o gráfico de uma ou mais somas parciais da série.

26.

f x = x 2 - 2 x ,                 0 < x < 4       s é r i e   e m   c o s s e n o s ,   p e r í o d o   8

Passo 1

(a) Fala galera!!!

A equação fornecida é a seguinte:

f x = x 2 - 2 x ,                 0 < x < 4

Queremos encontrar a série de Fourier para cossenos e esboçar o gráfico da função. Assim, precisamos encontrar os coeficientes a 0 e a n para a extensão par de período 2 L da função f x .

Passo 2

Agora, vamos calcular os coeficientes a 0 e a n . Para isso, podemos usar a seguinte relação fornecida no livro:

a 0 = 2 L ∫ 0 L f x d x

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x                           n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Em que a f x pode ser dada como uma série de Fourier da seguinte forma:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L

Para este caso, L = 4 .

Passo 3

Podemos calcular a 0 da seguinte maneira:

a 0 = 2 L ∫ 0 L f x d x

a 0 = 2 4 ∫ 0 4 x 2 - 2 x d x

a 0 = 1 2 ∫ 0 4 x 2 d x - 1 2 ∫ 0 4 2 x d x

a 0 = 1 2 x 3 3 0 4 - 1 2 x 2 0 4

a 0 = 1 2 64 3 - 1 2 16 = 8 3

Passo 4

Então, temos que a n é o seguinte:

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x

a n = 2 4 ∫ 0 4 x 2 - 2 x cos ⁡ n π x 4 d x

a n = 1 2 ∫ 0 4 x 2 cos ⁡ n π x 4 d x - ∫ 0 4 x cos ⁡ n π x 4 d x

Por integração por partes, temos que:

a n = 1 2 4 x n π sen ⁡ n π x 4 + 32 x n 2 π 2 cos ⁡ n π x 4 - 128 n 3 π 3 sen ⁡ n π x 4 0 4 - 4 x n π sen ⁡ n π x 4 + 16 n 2 π 2 cos ⁡ n π x 4 0 4

a n = 1 2 16 n π sen ⁡ n π + 128 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 128 n 3 π 3 sen ⁡ n π - 0 sen ⁡ 0 + 0 cos ⁡ 0 - 128 n 3 π 3 sen ⁡ 0 - 16 n π sen ⁡ n π + 16 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 0 sen ⁡ 0 + 16 n 2 π 2 cos ⁡ 0

Temos que sen ⁡ n π sempre será 0 , temos também que sen ⁡ 0 = 0 e cos ⁡ 0 = 1 .

a n = 1 2 128 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 16 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 16 n 2 π 2

a n = 48 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 16 n 2 π 2 cos ⁡ n π + 16 n 2 π 2

a n = 48 n 2 π 2 cos ⁡ n π + 16 n 2 π 2

a n = 16 n 2 π 2 3 cos ⁡ n π + 1

Temos que cos ⁡ n π será - 1 quando para números impares e 1 para números pares, então, podemos escrever a n da seguinte maneira:

a n = 16 n 2 π 2 3 - 1 n + 1

Passo 5

Substituindo, os termos encontrados na relação fornecida no passo 1, temos que a série de Fourier de f x é a seguinte:

f x = 8 6 + ∑ n = 1 ∞ 16 n 2 π 2 3 - 1 n + 1 cos ⁡ n π x 4

f x = 4 3 + 16 π 2 ∑ n = 1 ∞ 3 - 1 n + 1 n 2 cos ⁡ n π x 4

Passo 6

(b) Podemos esboçar o gráfico da função para a qual a série converge da seguinte maneira:

Resposta

f x = 4 3 + 16 π 2 ∑ n = 1 ∞ 3 - 1 n + 1 n 2 cos ⁡ n π x 4

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