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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 24

Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.

A = 11 / 9 - 2 / 9 8 / 9 - 2 / 9 2 / 9 10 / 9 8 / 9 10 / 9 5 / 9

Passo 1

O cálculo de Autovalores pode ser dado por:

det ⁡ A - λ I

det ⁡ 11 9 - λ - 2 / 9 8 / 9 - 2 / 9 2 9 - λ 10 / 9 8 / 9 10 / 9 5 9 - λ

Onde:

= - λ 3 - 2 λ 2 - λ + 2

Podemos separar em :

= λ - 1 λ - 2 λ + 1 = 0

Os autovalores podem ser dados por:

λ 1 = 1

y 2 = 2

y 3 = - 1

Passo 2

Para encontrar o vetor próprio de autovetor correspondente a λ 1 = 1 , precisamos resolver A - λ I = 0 . Use a eliminação de Gauss para encontrar o autovetor (este é um sistema homogêneo de equações)

11 / 9 - 2 / 9 8 / 9 - 2 / 9 2 / 9 10 / 9 8 / 9 10 / 9 5 / 9 - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 2 / 9 - 2 / 9 8 / 9 - 2 / 9 - 7 / 9 10 / 9 8 / 9 10 / 9 - 4 / 9

Quando escalonamos a matriz, encontramos que:

v 2 = 2 v 3

v 1 = - 2 v 3

v 3 = - 1

Temos que a primeira e a última coluna são iguais, conseguimos montar um autovetor do tipo 2 , - 2 ,   - 1 T correspondente ao autovetor:

2 - 2 - 1

Passo 3

Quando usamos o autovalor λ = - 1 , nós precisamos aplicar na fórmula:

A - λ I = 0

Usaremos eliminação de Gauss:

11 / 9 - 2 / 9 8 / 9 - 2 / 9 2 / 9 10 / 9 8 / 9 10 / 9 5 / 9 - ( - 1 ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Conseguimos montar resolver o sistema e encontrar um autovetor do tipo 1 , 2 ,   - 2 T correspondente ao autovetor:

1 2 - 2

Passo 4

Quando usamos o autovalor λ = 2 , nós precisamos aplicar na fórmula:

A - λ I = 0

Usaremos eliminação de Gauss:

11 / 9 - 2 / 9 8 / 9 - 2 / 9 2 / 9 10 / 9 8 / 9 10 / 9 5 / 9 - 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Conseguimos montar um autovetor do tipo 2 , 1 , 2 T correspondente ao autovetor:

2 1 2

Resposta

Para λ 1 = 1   t e m o s   2 - 2 - 1 .

Para λ 2 = - 1 temos   1 2 - 2 .

Para λ 3 = 2 temos   2 1 2 .

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