Em cada um dos Problemas 13 e 14, determine se os elementos do conjunto de vetores dados são linearmente independentes para –∞ < t < ∞ Se forem linearmente dependentes, encontre uma relação linear entre eles. Como nos problemas de 7 a 11, os vetores estão escritos como linhas para economizar espaço.

x^1 = (e^(-t), 2 * e^(-t))

x^2 = (e^(-t), e^(-t))

x^3 = (e^(-t), 0)

Passo 1

Os vetores dados são:

x 1 = e - t 2 e - t

x 2 = e - t e - t

x 3 = 3 e - t 0

Sendo C 1 ,   C 2 e   C 3 contantes, de modo que:

C 1 x 1 + C 2 x 2 + C 3 x 3 = 0

Esta equação pode ser escrita como:

e - t e - t 3 e - t 2 e - t e - t 0 C 1 C 2 C 3 = 0 0

Se:

C 1 = x

C 2 = y

C 3 = z

Escreva vetores na matriz e reduza para a forma escalonada de linha.

x + y + 3 z = 0 2 x + 1 = 0

Isolando x   na equação da segunda linha:

2 x + y = 0

x = - y 2

Substituindo x na primeira linha:

x + y + 3 z = 0

- y 2 + y + 3 z = 0

y = - 6 z

Substituindo em x :

x = - y 2 = - - 6 z 2 = 3 z

Se C 1 = x = 3 ; C 2 = y = - 6 e C 3 = 1 = z , podemos montar a solução como:

3 x 1 ( t ) - 6 x 2 ( t ) + x 3 ( t ) = 0

Resposta

3 x 1 ( t ) - 6 x 2 ( t ) + x 3 ( t ) = 0

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