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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.3 - Ex. 10b

Em cada um dos problemas de 5 a 18:

(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.

(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.

(c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não linear?

(d) Desenhe um retrato de fase do sistema não linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não linear.

10)

d x d t = x + x 2 + y 2 ,   d y d t = y - x y

Passo 1

Primeiramente iremos , formar a matriz de Jacobian, e aplicar os pontos críticos a ela fazer a analise necessária .

b)Primeiramente note que:

F x , y = x + x 2 + y 2

E

G x , y = y - x y    

Aplicando a matriz de Jacobian no campo de vetores temos:

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 1 + 2 x 2 y - y 1 - x

Passo 2

Aplicando o ponto de origem, 0 , 0 , para obtermos a matriz linear do sistema:

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 1 + 2 ∙ 0 2 ∙ 0 - 0 1 - 0

J 0 , 0 = 1 0 0 1

Passo 3

Aplicando para o ponto crítico - 1 , 0 :

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 1 + 2 ∙ - 1 2 ∙ 0 - 0 1 - - 1

J - 1 , 0 = - 1 0 0 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre os pontos críticos.
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Determine os pontos de bifurcação.
Encontre os pontos críticos.
Esboce as retas de crescimento nulo no primeiro quadrante, como na Figura 9.4.5. Para intervalos diferentes de α, seu esboço pode se assemelhar a partes diferentes da Figura 9.4.5.