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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.3 - Ex. 9b

Em cada um dos problemas de 5 a 18:

(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.

(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.

(c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não linear?

(d) Desenhe um retrato de fase do sistema não linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não linear.

9)

d x d t = ( 2 + y ) ( y - 0,5 x ) ,     d y d t = 2 - x y + 0,5 x  

Passo 1

Primeiramente iremos , formar a matriz de Jacobian, e aplicar os pontos críticos a ela fazer a analise necessária .

b)Primeiramente note que:

F x , y = ( 2 + y ) ( y - 0,5 x )

E

G x , y = 2 - x y + 0,5 x    

Aplicando a matriz de Jacobian no campo de vetores temos:

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = - 1 - 1 2 y 2 + 2 y - 1 2 x 1 - y - x 2 - x

Passo 2

Aplicando o ponto de origem, 2 , - 2 , para obtermos a matriz linear do sistema:

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = - 1 - 1 2 ∙ - 2 2 + 2 ∙ - 2 - 1 2 ∙ 2 1 - - 2 - 2 2 - 2

J 2 , - 2 = 0 - 3 1 0

Passo 3

Aplicando para o ponto crítico 4 , - 2 :

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = - 1 - 1 2 ∙ - 2 2 + 2 ∙ - 2 - 1 2 ∙ 4 1 + 2 - 4 2 - 4

J 4 , - 2 = 0 - 4 - 1 - 2

Passo 4

Aplicando para o ponto crítico (0,0):

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = - 1 - 1 2 ∙ 0 2 + 2 ∙ 0 - 1 2 ∙ 0 1 - 0 - 0 2 - 0

J 0,0 = - 1 2 1 2

Passo 5

Aplicando para o ponto crítico 2,1   :

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = - 1 - 1 2 ∙ 1 2 + 2 ∙ 1 - 1 2 ∙ 2 1 - 1 - 2 2 - 2

J 2,1 = - 1 / 2 3 - 2 2

Resposta

J 2 , - 2 = 0 - 3 1 0

J 4 , - 2 = 0 - 4 - 1 - 2

J 0,0 = - 1 2 1 2

J 2,1 = - 1 / 2 3 - 2 2

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