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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.3 - Ex. 8b

Em cada um dos problemas de 5 a 18:

(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.

(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.

(c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não linear?

(d) Desenhe um retrato de fase do sistema não linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não linear.

8)

d x d t = x - x 2 - x y ,     d y d t = 1 2 y   - 1 4 y 2 - 3 4 x y  

Passo 1

Primeiramente iremos , formar a matriz de Jacobian, e aplicar os pontos críticos a ela fazer a analise necessária .

b)Primeiramente note que:

F x , y = x - x 2 - x y

E

G x , y = 1 2 y   - 1 4 y 2 - 3 4 x y  

Aplicando a matriz de Jacobian no campo de vetores temos:

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 1 - 2 x - y - x - 3 4 y 1 2 - 1 2 y - 3 4 x

Passo 2

Aplicando o ponto de origem, 0,0 , para obtermos a matriz linear do sistema:

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 1 - 2 ∙ 0 - 0 - 0 - 3 4 ∙ 0 1 2 - 1 2 ∙ 0 - 3 4 ∙ 0

J 0,0 = 1 0 0 1 2

Passo 3

Aplicando para o ponto crítico (1,0):

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 1 - 2 ∙ 1 - 0 - 1 - 3 4 ∙ 0 1 2 - 1 2 ∙ 0 - 3 4 ∙ 1

J 1,0 = - 1 - 1 0 - 1 4

Passo 4

Aplicando para o ponto crítico (0,2):

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 1 - 2 ∙ 0 - 2 - 0 - 3 4 ∙ 2 1 2 - 1 2 ∙ 2 - 3 4 ∙ 0

J 0,2 = - 1 0 - 1,5 - 0,5

Passo 5

Aplicando para o ponto crítico 1 2 , 1 2   :

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 1 - 2 ∙ 1 2 - 1 2 - 1 2 - 3 4 ∙ 1 2 1 2 - 1 2 ∙ 1 2 - 3 4 ∙ 1 2

J 0,5 ; 0,5 = - 1 / 2 - 1 / 2 - 0,375 - 0,125

Resposta

J 0,0 = 1 0 0 1 2

J 1,0 = - 1 - 1 0 - 1 4

J 0,2 = - 1 0 - 1,5 - 0,5

J 0,5 ; 0,5 = - 1 / 2 - 1 / 2 - 0,375 - 0,125

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Em cada um dos problemas de 5 a 18:(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.(c) Encontre os autovalor
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