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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.3 - Ex. 8a

Em cada um dos problemas de 5 a 18:

(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.

(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.

(c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não linear?

(d) Desenhe um retrato de fase do sistema não linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não linear.

8)

d x d t = x - x 2 - x y ,     d y d t = 1 2 y   - 1 4 y 2 - 3 4 x y  

Passo 1

a) Bem vamos lá, para determinar todos os pontos críticos, temos que resolver o sistema de equação igual a zero. Em outras palavras d x d t = 0 , d y d t = 0 e resolve os dois sistemas lineares.

x - x 2 - x y = x ∙ 1 - x - y = 0                                                       1

E a outra equação temos:

1 2 y   - 1 4 y 2 - 3 4 x y = y ∙ 1 2 - 1 4 y - 3 4 x = 0                 2

Da primeira equação colocamos x = 0 , e teremos na equação (2) que:

y ∙ 1 2 - 1 4 y = 0

Portanto:

y = 0

Ou

y = 2

Teremos então os dois pontos críticos, ( 0 , 0 )   e ( 0 , 2 ) .

Utilizando a mesma lógica, podemos colocar x = 1 - y na equação 1 , substituindo na equação 2 e teremos:

y ∙ ( 1 2 - 1 4 y - 3 4 1 - y = 0  

Obtendo os seguintes pontos:

1,0   e   1 2 , 1 2

Resposta

a)

0 , 0 ; 0 , 2 ; 1,0   e   1 2 , 1 2

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