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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 24

Em cada um dos problemas de 24 a 26

a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Como parece que as soluções se comportam quando t assume grandes valores? O comportamento depende da escolha do valor inicial a? Seja a 0 o valor de a no qual ocorre a transição de um tipo de comportamento para outro. Estime o valor de a 0 .

b) Resolva o problema de valor inicial e encontre precisamente o valor critico de a 0

c) Deescreva o comportamento da solução correspondente ao valor inicial a 0

t y ' + t + 1 y = 2 t e - t ,       y 1 = a ,     t > 0

Passo 1

a)

Passo 2

b)Vamos resolver pelo método...

y ' + t + 1 t y = 2 e - t        

Multiplicamos por μ t  

μ t y ' + μ t t + 1 t y = 2 μ t e - t  

De modo que

d μ t d t = μ t t + 1 t   ⟹     d μ t μ t = t + 1 t d t     ⟹ d ln ⁡ μ t = 1 + 1 t d t  

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

∫ d ln ⁡ μ t = ∫ 1 + 1 t d t   ⟹   ln ⁡ μ t = t + ln ⁡ t   ⟹   μ t = t e t

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por μ t   é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

μ t y ' + μ t t + 1 t y = 2 μ t e - t  

⟹  

⟹ d   μ t   y d t = μ t   2 e - t     ⟹   d   μ t   y =   μ t   2 e - t     d t    

Subsituindo os valores encontrados e integrando

⟹ t e t y =   ∫ t e t 2 e - t   t =   t 2 + C

y t   = t e - t + C e - t t

O problema de valor inicial será resolvido, usando a condição dada pelo problema

y 1   = 1 e + C e = a ⟹ C = a e - 1

y t   = t e - t + ( a e - 1 ) e - t t

a 0 = 1 e

Passo 3

c) y → 0   q u a n d o   t →   0     p a r a   a = a 0

Resposta

y t   = t e - t + ( a e - 1 ) e - t t

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