Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 32

Mostre que todas as soluções de tendem a um limite quando encontre esse limite

Passo 1

Discutimos até esse ponto do livro como resolver alguns casos mais simples de EDO, a partir de agora vamos começar a lidar com equações que tem a seguinte cara:

O método para resolver tal equação que vamos utilizar é conhecido como método do fator integrante.

Dada uma equação no formato acima o que devemos primeiramente fazer é deixar a equação assim ó:

Outra coisa que pode te ajudar nesse problema é usar a dica do livro, de olhar a equação (41). Lá também tem a resolução dessa EDO. Mas vamos repetir o passo a passo aqui!

Passo 2

Trabalhando em cima do nosso problema, vamos resolver pelo método...

Multiplicamos por

De modo que

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

Subsituindo os valores encontrados e integrando

E, assim como o livro nos diz, essa não é uma integral resolvível haha. Então deixamos ela como:

O próximo passo dele é escolher um limite inferior sendo :

Dessa forma, a solução geral é:

Passo 3

Beleza, até aqui, tem tudo no livro. Agora, vamos avaliar quando . Nesse momento, temos o limite:

Vamos usar as propriedades do limite:

Dessa forma, temos que o limite da direita vai para , beleza? Já que:

E quando vai para infinito, o denominador fica muuuuito maior que , independente do seu valor, levando o limite para . Agora, vamos ver o outro limite:

Quando tendo ao infinito, você concorda comigo que essa integral tende ao infinito também? Isso porque, qualquer que seja o valor dessa integral, pegaremos ele no infinito! Então: