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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.6 - Ex. 3

Em cada um dos problemas de 1 a 4, construa uma função de Liapunov adequada da forma a x 2 + c y 2 , em que a e c devem ser determinados. Depois, mostre que o ponto crítico na origem é do tipo indicado.

d x d t = - x 3 + 2 y 3 ,     d y d t = - 2 x y 2 ;           e s t á v e l ( p e l o   m e n o s )

Passo 1

Tá legal, vamos considerar uma função genérica de Liapunov da forma:

V x , y = a x 2 + c y 2

E, a taxa de mudança de V ao longo de qualquer trajetória é:

V ˙ = V x . d x d t + V y . d y d t

Então, substituindo os valores conhecidos nesse caso, chegamos em:

V ˙ = 2 a x - x 3 + 2 y 3 + 2 c y - 2 x y 2 → V ˙ = - 2 a x 4 + 4 a x y 3 - 4 c x y 3

Passo 2

Agora nós vamos assumir que temos a = c , então a equação obtida no passo 1 pode ser reescrita como:

V ˙ = - 2 a x 4 + 4 a x y 3 - 4 a x y 3 → V ˙ = - 2 a x 4

Então, chamando x 2 = u e - 2 a = γ , temos:

V ˙ = γ u 2

Passo 3

Agora, analisando a equação obtida no passo 2, se tivermos a > 0 , então, V ˙ é semi-definida negativa e V é definida positiva. Então, a origem é um ponto crítico estável. Uma função V com esse formato poderia ser:

V x , y = 2 x 2 + 2 y 2

Resposta

V x , y = 2 x 2 + 2 y 2

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