Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.6 - Ex. 4

Em cada um dos problemas de 1 a 4, construa uma função de Liapunov adequada da forma a x 2 + c y 2 , em que a e c devem ser determinados. Depois, mostre que o ponto crítico na origem é do tipo indicado.

d x d t = x 3 - y 3 ,     d y d t = 2 x y 2 + 4 x 2 y + 2 y 3 ;           i n s t á v e l

Passo 1

Tá legal, vamos considerar uma função genérica de Liapunov da forma:

V x , y = a x 2 + c y 2

E, a taxa de mudança de V ao longo de qualquer trajetória é:

V ˙ = V x . d x d t + V y . d y d t

Então, substituindo os valores conhecidos nesse caso, chegamos em:

V ˙ = 2 a x x 3 - y 3 + 2 c y 2 x y 2 + 4 x 2 y + 2 y 3

V ˙ = 2 a x 4 - 2 a x y 3 + 4 c x y 3 + 8 c x 2 y 2 + 4 c y 4

V ˙ = 2 a x 4 + 4 c - 2 a x y 3 + 8 c x 2 y 2 + 4 c y 4

Passo 2

Agora nós vamos assumir que temos a = 2 c , então a equação obtida no passo 1 pode ser reescrita como:

V ˙ = 4 c x 4 + 4 c - 4 c x y 3 + 8 c x 2 y 2 + 4 c y 2 → V ˙ = 4 c x 4 + 8 c x 2 y 2 + 4 c y 4

Passo 3

Agora, analisando a equação obtida no passo 2, se tivermos a = 2 c > 0 , então podemos escrever:

V ˙ = 4 c x 4 + 8 c x 2 y 2 + 4 c y 4 ≥ 4 c x 4 + 4 c y 4

Já que o termo 8 c x 2 y 2 será sempre maior ou igual a zero. Dessa forma então, a função V ( x , y ) será definida positiva e V ˙ ( x , y ) será também definida positiva. Então, do teorema 9.6.2 temos que o ponto crítico na origem será instável. E uma função V que atende à esses requisitos será:

V x , y = 2 x 2 + y 2

Resposta

V x , y = 2 x 2 + y 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os pontos críticos.
Esboce as trajetórias em uma vizinhança de cada ponto crítico. Desenhe um retrato de fase para o sistema.
Para cada ponto crítico, encontre o sistema linear correspondente. Encontre os autovalores e autovetores do sistema linear; classifique cada ponto crítico em relação ao tipo e determine se é assintoti
Determine o comportamento limite de x e y quando t → ∞ e interprete os resultados em termos das populações das duas espécies.
Desenhe um campo de direções e descreva como as soluções parecem se comportar.