Em cada um dos problemas de 1 a 4, construa uma função de Liapunov adequada da forma a x 2 + c y 2 , em que a e c devem ser determinados. Depois, mostre que o ponto crítico na origem é do tipo indicado. d x d t = x 3 - y 3 , d y d t = 2 x y 2 + 4 x 2 y + 2 y 3 ;i n s t á v e l á

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.6 - Ex. 4

Em cada um dos problemas de 1 a 4, construa uma função de Liapunov adequada da forma , em que e devem ser determinados. Depois, mostre que o ponto crítico na origem é do tipo indicado.

Passo 1

Tá legal, vamos considerar uma função genérica de Liapunov da forma:

E, a taxa de mudança de ao longo de qualquer trajetória é:

Então, substituindo os valores conhecidos nesse caso, chegamos em:

Passo 2

Agora nós vamos assumir que temos , então a equação obtida no passo 1 pode ser reescrita como:

Passo 3

Agora, analisando a equação obtida no passo 2, se tivermos , então podemos escrever:

Já que o termo será sempre maior ou igual a zero. Dessa forma então, a função será definida positiva e será também definida positiva. Então, do teorema 9.6.2 temos que o ponto crítico na origem será instável. E uma função que atende à esses requisitos será:

Resposta

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