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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.5 - Ex. 2c

Para cada ponto crítico, encontre o sistema linear correspondente. Encontre os autovalores e autovetores do sistema linear; classifique cada ponto crítico em relação ao tipo e determine se é assintoticamente estável, estável ou instável.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos e classificarmos os pontos críticos das nossas equações. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser montar o Jacobiano do nosso cmapo vetorial.

J =   1 - 0,5 y - 0,5 x 0,5 y - 0 , 2 5 + 0,5 x

Para os valores iguais a zero, temos os seguintes valores críticos:

x ( 1 - 0,5 y ) = 0

y - 0,25 + 0,5 x = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só montar as equações e achar os resultados!!

J 0   ,   0 =   1 0 0 - 1 4     ∴       r 1 = 1   ; r 2 = - 1 4     ∴       ξ 1 = 1 0   ;   ξ 2 = 0 1   → i n s t á v e l

J 0,5   ,   2 =   0 - 0,25 1 0     ∴       r 1 = i 1 2   ; r 2 = - i 1 2     ∴       ξ 1 = 1 - 2 i   ;   ξ 2 = 1 2 i   →   e s t á v e l

Resposta

J 0   ,   0 =   1 0 0 - 1 4     ∴       r 1 = 1   ; r 2 = - 1 4     ∴       ξ 1 = 1 0   ;   ξ 2 = 0 1   → i n s t á v e l

J 0,5   ,   2 =   0 - 0,25 1 0     ∴       r 1 = i 1 2   ; r 2 = - i 1 2     ∴       ξ 1 = 1 - 2 i   ;   ξ 2 = 1 2 i   →   e s t á v e l

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