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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 23

Em cada um dos problemas de23 a 26, use a fórmula de Euler modificada do Problema 22 com h   =   0,05 para calcular valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t   =   0,1 ;   0,2 ;   0,3   e   0,4 . Compare os resultados com os obtidos nos Problemas de 1 a 4 .

23. y ' = 3 + t - y ,     y 0 = 1

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha sobre métodos numéricos.

Olha só! A fórmula de E u l e r modificada para a equaçãozinha do nosso problema tem a seguinte cara...

y n + 1 = y n + h 3 + t n + h 2 - y n + 1 2 h 3 + t n - y n

Mexendo um pouco nela, ficamos com...

y n + 1 = y n + h 3 + t n - y n + h 2 2 y n - t n - 2

Só que nós sabemos que...

t n = t 0 + n h

Com...

t 0 = 0

Desse modo, a nossa fórmula de y n + 1 vai ficar...

y n + 1 = y n + h 3 + t n - y n + h 2 2 y n - t n - 2

y n + 1 = y n + h 3 + n h - y n + h 2 2 y n - n h - 2

Pronto! O primeiro passo já foi traçado. Vamos agora, partir pra resolução computacional...

Passo 2

Para isso, vamos usar a seguinte estrutura abaixo em forma de algoritmo a fim de fazer o nosso código...

P a s s o   1 : D e f i n i r   a   f u n ç ã o   y n + 1  

P a s s o   2 : D e f i n i r   o   t a m a n h o   d o   p a s s o   h   e   o   n ú m e r o   d e   p a s s o s   n    

P a s s o   3 : P a r a   i   d e   1   a t é   u m   t a m a n h o   d e   0 . 4 h   f a ç a  

P a s s o   4 :  

y n + 1 = y n + h 3 + n h - y n + h 2 2 y n - n h - 2

i = i + 1  

n = n + 1  

P a s s o   5 : E s c r e v a l   y n + 1

P a s s o   6 : F i m

Passo 3

Desse modo, utilizando uma linguagem de programação qualquer, C ou P y t h o n , é possível determinar o que a gente quer. No caso, bora usar a C ...

Usando o seguinte código abaixo, feito com todo carinho do mundo...

E compilando ele, num total de iterações ( T A M ) , igual à...

T A M = 0.4 h

T A M = 0.4 0.05 = 8

Chegamos até o demonstrado na imagem adiante...

E assim, obtemos a seguinte tabela:

Resposta

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Em cada um dos problemas de 7 a 12, encontre valores aproximados da solução do problema de valorinicial dado em t = 0,5; 1,0; 1,5 e 2,0.(a) Use o método de Euler com h = 0,025.(b) Use o método de Eule
Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre valores aproximados da solução do problema de valorinicial dado em t = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4.(a) Use o método de Euler com h = 0,05.(b) Use o método de Euler
Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre valores aproximados da solução do problema de valorinicial dado em t = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4.(a) Use o método de Euler com h = 0,05.(b) Use o método de Euler
Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre valores aproximados da solução do problema de valorinicial dado em t = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4.(a) Use o método de Euler com h = 0,05.(b) Use o método de Euler
Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre valores aproximados da solução do problema de valorinicial dado em t = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4.(a) Use o método de Euler com h = 0,05.(b) Use o método de Euler