Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 15

15. Considere o método deEuler aprimorado para resolvero problema de valor inicial ilustrativo y ' = 1   –   t   +   4 y , y ( 0 ) = 1 . Usando o resultado do Problema 14(c) e a solução exata do problema de valor inicial, determine e n + 1 e uma cota para o erro em qualquerpasso em 0 ≤ t ≤   2 . Compare esse erro com o obtido na Eq. (27) da Seção 8.1 usando o método de Euler. Obtenha, também, uma cota para e 1 com h   =   0,05 e compare com a Eq.(28) da Seção 8.1.

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha sobre método de E u l e r aperfeiçoado.

Olha só! Vamos primeiramente obter a solução exata do problema de valor inicial para essa equação...

Para isso, vamos reescrever a equação como uma E D O de primeira ordem de variáveis separáveis...

y ' - 4 y = 1 - t

Essa equação está no formato...

y ' + p t y = q t     p t = - 4 q t = 1 - t

Como p x = - 4 , o fator integrante vai ser...

μ t = e ∫ p t d t

μ t = e ∫ - 4 d t

μ t = e - 4 t

Depois, bora escrever a equação na forma abaixo...

( μ t ⋅ y ) ' = μ t ⋅ q t

( e - 4 t ⋅ y ) ' = e - 4 t ⋅ ( 1 - t )

( e - 4 t ⋅ y ) ' = e - 4 t - t e - 4 t

Resolvendo ela...

( e - 4 t ⋅ y ) ' = e - 4 t - t e - 4 t

- 4 e - 4 t y + e - 4 t y ' = e - 4 t - t e - 4 t

y = 4 t e - 4 t - 3 e - 4 t + c 1 16 e - 4 t

y = t 4 - 3 16 + c 1 e 4 t

Logo, a nossa solução exata, considerando que aqui não trabalhamos com constantes, é...

ϕ t = t 4 + e 4 t

Passo 2

Agora, vamos partir pra fórmula do erro de truncamento local para o método de Euler aperfeiçoado, que é dada por...

e n + 1 = 1 6 ϕ ' ' ' ( t - n ) h 3

Tirando a primeira derivada de ϕ t …  

ϕ ' t = t 4 + e 4 t '

ϕ ' t = 1 4 + 4 e 4 t

Depois, a segunda derivada...

ϕ ' ' t = 1 4 + 4 e 4 t '

ϕ ' ' t = 16 e 4 t

E por fim, a terceira derivada...

ϕ ' ' ' t = 16 e 4 t '

ϕ ' ' ' t = 64 e 4 t

Temos que substituindo esses valores na fórmula do erro, ficamos com...

e n + 1 = 1 6 ⋅ 64 e 4 t - n ⋅ h 3

e n + 1 = 32 3 e 4 t - n h 3

Passo 3

Como 0   ≤   t   ≤   2 , então o maior valor que o erro pode assumir é 4 3 e 8 h 3 e ficamos com...

e n + 1 ≤   32 3 e 8 h 3

Agora, considerando a primeira iteração com h = 0.05 para o erro que chamaremos de e 1 ...

e n + 1 = 32 3 e 4 t - n h 3

e 1 = 32 3 e 4 ⋅ 1 ⋅ 0.05 ⋅ ( 0 . 05 ) 3

e 1 = 32 3 ⋅ e 0 . 2 ⋅ 1 8000 = 32 24000 e 0 . 2

e 1 = 1 750 e 0 . 2 = 1 . 6285 ⋅ 10 - 3

Passo 4

Pra finalizar, vamos as comparações. Usando o método de E u l e r aprimorado...

y n + 1 = y n + h 2 1   –   t n   +   4 y n + h 2 1   –   t n + 1   +   4 K n

Sendo que...

K n = y n + h ( 1   –   t n   +   4 y n )

Para a primeira iteração, temos que...

K n = y n + h ( 1   –   t n   +   4 y n )

K 0 = y 0 + h 1   –   t 0   +   4 y 0

K 0 = 1.0 + 0.05 ⋅ 1   –   0   +   4 ⋅ 1.0

K 0 = 1.25

y n + 1 = y n + h 2 1   –   t n   +   4 y n + h 2 1   –   t n + 1   +   4 K n

y 1 = y 0 + h 2 1   –   t 0   +   4 y 0 + h 2 1   –   t 1   +   4 K 0

y 1 = 1.0 + 0.05 2 1 - 0 + 4 ⋅ 1.0 + 0,05 2 1 - 1 ⋅ 0.05 + 4 ⋅ 1.25

y 1 ≈ 1.27375

Já o valor exato, vai ser igual à...

ϕ 0,05 = ϕ t = t 4 + e 4 t

ϕ 0,05 = 0.05 2 + e 4 ⋅ 0.05

ϕ 0,1 = 1.2464027

De modo que subtraindo as duas. Para o cálculo do erro absoluto...

| ϕ 0,1 - y 1 | = 1.2464027 - 1.27375

| ϕ 0,1 - y 1 | = 2.7347 ⋅ 10 - 2

No caso do erro relativo, teríamos que...

E r r o ϕ 0,1 - y 1 ϕ 0,1 = 1.2464027 - 1.27375 1.2464027

E r r o ϕ 0,1 - y 1 ϕ 0,1 = 2.194 ⋅ 10 - 2

Podemos ver que a subtração, que é o erro absoluto, é maior do que o nosso erro de truncamento obtido.

Resposta

e n + 1 = 32 3 e 4 t - n h 3 ,     e n + 1 ≤   32 3 e 8 h 3

e 1 = 1 750 e 0,2 = 1 . 6285 ⋅ 10 - 3

E r r o ϕ 0,1 - y 1 ϕ 0,1 = 2.194 ⋅ 10 - 2 ≫ 1 . 6285 ⋅ 10 - 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemasde 18 a 21 , obtenha uma fórmula para o erro de truncamento local para o método deEuler em termos de t e da solução ϕ .21. y ' = 2 t + e - t y , y 0 = 1
Em cada um dos problemasde 18 a 21 , obtenha uma fórmula para o erro de truncamento local para o método deEuler em termos de t e da solução ϕ .19. y ' = 5 t - 3 y , y 0 = 2
14. Complete os cálculos que levam aos elementos nas colunas três e quatro da tabela 8.1 . 2
26. O problema a seguir ilustraum perigo que ocorre devido ao erro de arredondamento quando números quaseiguais são subtraídos e a diferença é multiplicada depois por um número muito grande. Calcule a
22. Considere oproblema de valor inicialy ' =c o s5 π t , y 0 = 1 (a) Determine a solução y=ϕ ( t ) e desenhe o gráfico dey=ϕ ( t ) para 0 ≤t≤1 . (b) Determine valores aproximados para ϕ ( t ) em t=0,