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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 18

Em cada um dos problemas de 18   a 21 , efetueum passo do método de Euler e do método de Euler aprimorado usando o tamanho de passo h   =   0,1 . Suponha que se deseja um erro de truncamento local não maior do que 0,0025 . Estime o tamanho de passo necessário para o método de Euler satisfazer essa condição no primeiro passo.

18. y ' = 0,5 - t + 2 y ,     y 0 = 1,0

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha sobre métodos numéricos.

Olha só! Vamos primeiramente usar o método de E u l e r para fazer a nossa primeira iteração...

y n + 1 = y n + h 0,5 - t n + 2 y n

Para a primeira iteração, temos que...

y 1 = y 0 + h 0,5 - t n + 2 y n

y 1 = 1.0 + 0.1 ⋅ 0,5 - 0 + 2 ⋅ 1.0

y 1 = 1.0 + 0.1 2.5

y 1 ≈ 1.25

Passo 2

Em seguida, bora fazer a primeira iteração usando o método de E u l e r aperfeiçoado.

y n + 1 = y n + h 2 0,5 - t n + 2 y n + h 2 0,5 - t n + 1 + 2 K n

Sendo que...

K n = y n + h 0.5 - t n + 2 y n

K n = 1.0 + 0.1 ⋅ 0.5 - 0 + 2 ⋅ 1.0

K n = 1.25

O que nos leva à...

y n + 1 = y n + h 2 0,5 - t n + 2 y n + h 2 0,5 - t n + 1 + 2 K n

y 1 = y 0 + h 2 0,5 - t 0 + 2 y 0 + h 2 0,5 - t n + 1 + 2 K 0

y 1 = 1.0 + 0.1 2 0,5 + 2 ⋅ 1.0 + 0.1 2 0,5 - 1 ⋅ 0.1 + 2 ⋅ 1.25

y 1 = 1.27

Passo 3

Desse modo, comparando os resultados dos P a s s o s 1 e 2 , temos que o erro cometido e 1 é de...

e 1 = 1.27 - 1.25 = 0.02

Com esse erro, temos que o tamanho de cada passo deve ser ajustado por um fator f de acordo com a equação abaixo...

f = 0.0025 0.02

f = 0.125

f = 0.354

Assim, o novo tamanho do passo vai ser igual à...

h = f ⋅ 0.1

h = 0.354 ⋅ 0.1

h ≈ 0.036

Pronto! Exercício finalizado!

Resposta

E u l e r → y 1 = 1.25

E u l e r   a p e r f e i ç o a d o → y 1 = 1.27

P a s s o   n e c e s s á r i o :   h ≈ 0.036

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