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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.9 - Ex. 18c

Considere o sistema

x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x

c)Para encontrar uma segunda solução, suponha que x   =   ξ t e 2 t   +   η e 2 t . Mostre que ξ e η

satisfazem as equações

( A   –   2 I ) ξ   =   0 ,       ( A   –   2 I ) ˚   =   ξ

Como ξ já foi encontrado no item (a), resolva a segunda equação para η. Despreze o múltiplo

de ξ(1) que aparece em η, já que nos leva, apenas, a um múltiplo da primeira solução x 1 .

Depois, escreva uma segunda solução x 2 t do sistema (i).

Passo 1

c)Primeiramente antes de calcularmos a segunda solução, vamos provar que:

A - 2 I ξ = 0

Desde que x = ξ t e 2 t + η e 2 t , a solução x ' = A x temos que:

x ' = ξ e 2 t + 2 ξ t e 2 t + 2 η e 2 t

Por outro lado temos:

A x = A ξ t e 2 t + η e 2 t = t e 2 t + e 2 t A η

Portanto:

x ' = A x ⇔   ξ e 2 t + 2 ξ t e 2 t + 2 η e 2 t = t e 2 t A ξ + e 2 t A η

Em que A ξ = 2 ξ ,

x ' = A x ⇔   ξ e 2 t + 2 ξ t e 2 t + 2 η e 2 t = 2 ξ t e 2 t + e 2 t A η

x ' = A x ⇔   e 2 t A η - 2 η e 2 t = ξ e 2 t

x ' = A x ⇔   A η - 2 η = ξ

x ' = A x ⇔   A - 2 I ξ

Passo 2

Para podermos calcular a segunda solução linear, teremos que generalizar um vetor próprio:

Para r = 2 :

- 1 1 1 2 - 1 - 1 - 3 2 2 ∙ η 1 η 2 η 3 = 0 1 - 1

Escalonando temos:

1 0 0 0 1 1 0 0 0 ∙ η 1 η 2 η 3 = 1 1 0

Temos que:

η 1 = 1

η 2 + η 3 = 1

Temos que encontrar um possível vetor próprio que satisfaz a equação descrita acima, o seguintes vetor que encontrei:

η = 1 1 0

Aplicando a segunda solução para autovalores repetidos:

x 2 = t e 2 t 0 1 - 1 + 1 1 0 e 2 t

Resposta

c)

x 2 = t e 2 t 0 1 - 1 + 1 1 0 e 2 t

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