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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.7 - Ex. 1

Em cada um dos problemas de 1 a 4:

  1. Encontre os valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t = 0,1 ; 0,2 ; 0,3   e   0,4 usando o método de Euler com h = 0,1 .
  2. Repita o item (a) com h = 0,05 . Compare os resultados com os encontrados no item (a)
  3. Repita o item (a) com h = 0,025 . Compare os resultados com os encontrados no item (a)
  4. Encontre a solução y = ϕ ( t ) do problema dado e calcule ϕ ( t ) em t = 0,1 ; 0,2 ; 0,3   e   0,4 . Compare esses valores com os resultados de (a), (b), (c).

y ' = 3 + t - y , y 0 = 1 .

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos usar o método de Euler, que consiste em um calculo numérico para as equações em que não temos um valor exato, onde o resultado se aproxima cada vez mais do exato de acordo com o passo usado para o calculo.

Passo 2

  1. Utilizando o método de Euler, temos que a equação usada é dada por

    2. y n + 1 = y n + f n ⋅ h

    y n + 1 = y n + 3 + t n - y n ⋅ h = 1 - h ⋅ y n + 3 + t n ⋅ h

    Começando com n = 0 , teremos que

    y 1 = 1 - 0,1 ⋅ 1 + 3 + 0,1 ⋅ 0,1 = 1,21

    Repetindo o mesmo processo até n = 3 , teremos os seguintes resultados

    y 2 = 1,409

    y 3 = 1,5981

    y 4 = 1,7783

    Passo 3

  2. Para h = 0,05 , temos que

    3. y 1 = 1,105

    y 2 = 1,2098

    y 3 = 1,3143

    y 4 = 1,4186

    Passo 4

  3. Para h = 0,025 , temos que

    4. y 1 = 1,0525

    y 2 = 1,1062

    y 3 = 1,1611

    y 4 = 1,2146

    Percebemos que os resultados no item c) e b), em comparação com no item a), nossos valores são muito mais próximos um do outro, pelo fato de o passo ser muito menor

    Passo 5

  4. Temos que nossa EDO não é separável, então vamos resolve-lá pelo fator integrante. Calculando nosso u t chegamos que u t = e t . Multiplicando nossa equação pelo fator integrante, vemos que agora a mesma pode ser separa. Resolvendo então, chegamos que

y = e t ⋅ t + 2 ⋅ e t + C e t

Aplicando a condição de contorno, temos que

y 0 = 1 = 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 + C 1 → C = - 1

Substituindo na relação encontrada, temos que

y = e t ⋅ t + 2 ⋅ e t - 1 e t

Assim, calculando nossos valores para t , temos que

y 1 = 1,1952

y 2 = 1,3813

y 3 = 1,5592

y 4 = 1,7297

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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