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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.8 - Ex. 7

Em cada um dos problemas de 7 e 8, seja ϕ 0 t = 0 e use o método das aproximações sucessivas para resolver o problema de valor inicial dado.

  1. Determine ϕ n ( t ) para um valor arbitrário de n
  2. Faça o gráfico de ϕ n t = ϕ t para n = 1 , … , 4 . Observe se os iterados parecer estar convergindo.
  3. Mostre que a sequência ϕ n t converge.

y ' = t y + 1 ,       y 0 = 0

Passo 1

Se supusermos, temporatiamente, que existe uma função y = ϕ ( t ) que satifaz o problema de valor inicial, então f t , ϕ t é uma função contínui que só depende de t . Logo, podemos integrar y ' = f t , y do ponto inicial t = 0 até um valor arbitrário de t , obtendo

ϕ t = ∫ 0 t f s , ϕ s d s

Em que usamos a condição inicial ϕ 0 = 0 . Usamos também s para denotar a variável de integração.

Passo 2

(a) Assim vamos usar a suposição dada no passo 1 e prevista no Teorema 2.8.1 e vamos fazer que

ϕ n t = ∫ 0 t f s , ϕ n - 1 s d s

Assim tomando que ϕ 0 s = 0

ϕ 1 t = ∫ 0 t s   ϕ 0 s + 1 d s = t

Seguindo temos

ϕ 2 t = ∫ 0 t s   ϕ 1 s + 1 d s = ∫ 0 t s 2 + 1 d s = t 3 3 + t

ϕ 3 t = ∫ 0 t s   ϕ 2 s + 1 d s = ∫ 0 t s 4 3 + s 2 + 1 d s = t 5 3 ⋅ 5 + t 3 3 + t

Se seguimos com a integração vamos achar sempre o próximo elemento como

t 7 3 ⋅ 5 ⋅ 7 , t 9 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 , … , t ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) !

Assim temos que

ϕ n t = ∑ n = 0 ∞ t 2 n + 1 2 n + 1 !

Passo 3

(b) Plotando o nosso pequeno graficozinho, onde temos que n = 1 → a z u l ,   n = 2 → L a r a n j a ,   n = 3 → V e r d e e n = 4 → v e r m e l h o

Quanto maior o n , mais nossa função explode

Passo 4

(c) Observe o seguinte:

Tome

sinh ⁡ x = e x - e - x 2

Só que sabemos que

e a x = ∑ n = 0 ∞ a x n n !

Assim temos

sinh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! - ∑ n = 0 ∞ - x n n ! 2

Observe que para todo n par, temos que os termos se anulam e para todo n impar, ou seja, 2 n + 1 temos que os termos são iguais, ou seja

sinh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Assim temos que nossa série converge para sinh ⁡ ( t )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos problemas 1-10, determine uma região do plano x y para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) na região. x 2 + y ² . y ' = y ² ² ²
Nos problemas 1-10, determine uma região do plano x y para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) na região. y - x . y ' = y + x
Nos problemas 1-10, determine uma região do plano x y para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) na região. d y d x = x 3 . cos ⁡ y
Nos problemas 1-10, determine uma região do plano x y para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) na região. 4 - y 2 . y ' = x ² ²
Explique por que y = tan ⁡ x é uma solução para o problema de valor inicial da parte c no intervalo ( - 1,1 ) .