Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.8 - Ex. 8
Em cada um dos problemas de 7 e 8, seja e use o método das aproximações sucessivas para resolver o problema de valor inicial dado.
- Determine para um valor arbitrário de
- Faça o gráfico de para Observe se os iterados parecer estar convergindo.
- Mostre que a sequência converge.
Passo 1
Se supusermos, temporatiamente, que existe uma função que satifaz o problema de valor inicial, então é uma função contínui que só depende de . Logo, podemos integrar do ponto inicial até um valor arbitrário de , obtendo
Em que usamos a condição inicial . Usamos também para denotar a variável de integração.
Passo 2
(a) Assim vamos usar a suposição dada no passo 1 e prevista no Teorema 2.8.1 e vamos fazer que
Assim tomando que
Seguindo temos
Se seguimos com a integração vamos achar sempre o próximo elemento como
Assim temos que
Passo 3
(b) Plotando o nosso pequeno graficozinho, onde temos que e
Passo 4
(c) Vamos lembrar de nosso teste da razão quando aprendemos série e fazer o próximo termo pelo anterior, ou seja
Tomando o limite de
E lembrando que para o teste da razão, se o nosso limite for menor que 1 temos que nossa série converge, então temos a convergência da mesma.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)