Enunciado

Em cada um dos problemas de 7 e 8, seja ϕ 0 t = 0 e use o método das aproximações sucessivas para resolver o problema de valor inicial dado.

  1. Determine ϕ n ( t ) para um valor arbitrário de n
  2. Faça o gráfico de ϕ n t = ϕ t para n = 1 , … , 4 . Observe se os iterados parecer estar convergindo.
  3. Mostre que a sequência ϕ n t converge.

y ' = t 2 y - t ,       y 0 = 0

Passo 1

Se supusermos, temporatiamente, que existe uma função y = ϕ ( t ) que satifaz o problema de valor inicial, então f t , ϕ t é uma função contínui que só depende de t . Logo, podemos integrar y ' = f t , y do ponto inicial t = 0 até um valor arbitrário de t , obtendo

ϕ t = ∫ 0 t f s , ϕ s d s

Em que usamos a condição inicial ϕ 0 = 0 . Usamos também s para denotar a variável de integração.

Passo 2

(a) Assim vamos usar a suposição dada no passo 1 e prevista no Teorema 2.8.1 e vamos fazer que

ϕ n t = ∫ 0 t f s , ϕ n - 1 s d s

Assim tomando que ϕ 0 s = 0

ϕ 1 t = ∫ 0 t s 2   ϕ 0 s - s d s = - t 2 2

Seguindo temos

ϕ 2 t = ∫ 0 t s 2   ϕ 1 s - s d s = ∫ 0 t - s 4 2 - s d s = - t 5 2 ⋅ 5 - t 2 2

ϕ 3 t = ∫ 0 t s 2   ϕ 2 s - s d s = ∫ 0 t - s 7 2 ⋅ 5 - s 4 2 - s d s = - t 8 2 ⋅ 5 ⋅ 8 - t 5 2 ⋅ 5 - t 2 2

Se seguimos com a integração vamos achar sempre o próximo elemento como

- t 11 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 11 , - t 14 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 14 , … , - t 2 t 3 n - 1 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 2 + 3 n - 1

Assim temos que

ϕ n t = - t 2 ∑ n = 0 ∞ t 3 n - 1 2 + 3 n - 1 !

Passo 3

(b) Plotando o nosso pequeno graficozinho, onde temos que n = 1 → a z u l ,   n = 2 → L a r a n j a ,   n = 3 → V e r d e e n = 4 → v e r m e l h o

Passo 4

(c) Vamos lembrar de nosso teste da razão quando aprendemos série e fazer o próximo termo pelo anterior, ou seja

t 3 n 2 + 3 n ! t 3 n - 1 2 + 3 ( n - 1 ! = t 3 n 2 + 3 n ! ⋅ 2 + 3 ( n - 1 ! t 3 n - 1 = t 3 2 + 3 n

Tomando o limite de

lim x → ∞ ⁡ t 3 2 + 3 x = 0

E lembrando que para o teste da razão, se o nosso limite for menor que 1 temos que nossa série converge, então temos a convergência da mesma.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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