Cada uma das séries nos Exercícios 51-56 é o valor da série de Taylor em x = 0 de uma função f(x) em um ponto em particular. Qual função e qual ponto? Qual é a soma da série?

53. π - π^3 / 3! + π^5 / 5! - ... + (-1)^n * π^(2n + 1) / (2n + 1)! + ...

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que a série

π - π 3 3 ! + π 5 5 ! - … + - 1 n π 2 n + 1 2 n + 1 ! + …  

A série dada tem a seguinte forma, com isso

x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - … + - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! + …  

Onde o ponto é x = π , portanto, a função requerida é

f x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - … + - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! + …    

E o ponto particular como x = π . A soma da série é dada por

x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - … + - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! + …   = sen ⁡ x

Colocando x = π , nós temos que

sen ⁡ π = 0

Resposta

x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - … + - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! + …   = sen ⁡ x = 0

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