Enunciado

Uma caixa de base quadrada é mais larga do que alta. Para poder mandá-la pelo correio dos EUA, sua largura e o perímetro de um dos lados (não quadrado) devem somar não mais que 108 polegadas. Qual é o volume máximo dessa caixa?

Passo 1

Esse é um típico exercício de otimização. O cálculo diferencial é uma ferramenta que nos ajuda muito na resolução desses casos, tão recorrentes no dia a dia.

Vamos precisar aqui determinar as dimensões da caixa que vão nos dar o volume máximo que ela pode ter, dentro das normas explicitadas.

Passo 2

Vamos considerar x a largura da caixa. Sendo a caixa de base quadrada, o comprimento e a largura serão iguais, e a área da base será x 2 .

Vamos considerar y a altura da caixa. Sendo a caixa de base quadrada, mais larga do que alta, todas as laterais são exatamente iguais, têm forma retangular e têm o mesmo perímetro.

Temos que a soma da largura com o perímetro de uma das laterais da caixa não pode ultrapassar 108 polegadas. Escrevemos isso:

x + 2 x + 2 y = 108

y

x

x

Agora, escrevemos a expressão pro volume V dessa caixa, que será:

V = x 2 ∙ y

Passo 3

Desenvolvendo a primeira expressão, temos:

3 x + 2 y = 108

Agora, vamos escrever y em função de x , a partir dessa sentença:

2 y = 108 - 3 x

y = 54 - 3 x 2

E isso pra quê?

Passo 4

Fazemos isso pra pegarmos essa expressão e substituí-la na expressão pro volume V . Reescrevemos a expressão, agora apenas em função de x , da seguinte maneira:

V ( x ) = x 2 ∙ ( 54 - 3 x 2 )

V x = 54 x 2 - 3 x 3 2

Assim, conseguimos uma função de x que podemos analisar os pontos de máximo e mínimo, que são os pontos de derivada nula.

Então, vamos derivar a função, igualá-la a zero e determinar os valores de x que correspondem aos pontos críticos. Teremos:

V ' x = 108 x - 9 x 2 2

Igualamos a zero e teremos:

108 x - 9 x 2 2 = 0

x ∙ 108 - 9 x 2 = 0

x = 0 ou 108 - 9 x 2 = 0

Logo:

108 - 9 x 2 = 0

108 = 9 x 2

x 2 = 12

x = 24

Passo 5

Temos dois pontos críticos, e precisaríamos determinar qual representa o ponto de máximo, pelo teste da derivada segunda.

Mas podemos pular esse trabalho e afirmar que nosso ponto de máximo é x = 18 , e só poderia ser x = 24 porque não faz sentido x valer zero, já que representa uma dimensão, precisa ter valor positivo e não nulo!

Assim, já tendo x , determinamos y pela expressão que já temos:

y = 54 - 3 x 2

y = 54 - 3 ∙ 24 2

∴ y = 18

Resposta

São as dimensões x = 24 e y = 18 .

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