Uma caixa de base quadrada é mais larga do que alta. Para poder mandá-la pelo correio dos EUA, sua largura e o perímetro de um dos lados (não quadrado) devem somar não mais que 108 polegadas. Qual é o volume máximo dessa caixa?

Vamos considerar a largura da caixa. Sendo a caixa de base quadrada, o comprimento e a largura serão iguais, e a área da base será .

Vamos considerar a altura da caixa. Sendo a caixa de base quadrada, mais larga do que alta, todas as laterais são exatamente iguais, têm forma retangular e têm o mesmo perímetro.

Temos que a soma da largura com o perímetro de uma das laterais da caixa não pode ultrapassar 108 polegadas. Escrevemos isso:

Agora, escrevemos a expressão pro volume dessa caixa, que será:

Desenvolvendo a primeira expressão, temos:

Agora, vamos escrever em função de , a partir dessa sentença:

E isso pra quê?

Fazemos isso pra pegarmos essa expressão e substituí-la na expressão pro volume . Reescrevemos a expressão, agora apenas em função de , da seguinte maneira:

Assim, conseguimos uma função de que podemos analisar os pontos de máximo e mínimo, que são os pontos de derivada nula.

Então, vamos derivar a função, igualá-la a zero e determinar os valores de que correspondem aos pontos críticos. Teremos:

Igualamos a zero e teremos:

ou

Logo:

Temos dois pontos críticos, e precisaríamos determinar qual representa o ponto de máximo, pelo teste da derivada segunda.

Mas podemos pular esse trabalho e afirmar que nosso ponto de máximo é , e só poderia ser porque não faz sentido valer zero, já que representa uma dimensão, precisa ter valor positivo e não nulo!

Assim, já tendo , determinamos y pela expressão que já temos: