Calcular a área entre as curvas:

b) 2r = 3 e r = 1 + cos(theta)

Passo 1

A área pedida está na figura:

Vamos ver onde ocorre a interseções das funções:

3 2 = 1 + cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 3 2 - 1

cos ⁡ θ = 1 2

θ = π 3

Outra coisa que a gente pode se aproveitar é do fato de que a função é simétrica em relação ao eixo x , então a gente pode fazer só a área da parte de cima do eixo, e depois multiplicar por 2.

Passo 2

Mas olha só, no intervalo de 0 , π 3 , a gente tem a função r = 3 2 e de π 3 ,   π (que é onde está o eixo x ) a gente tem a função r = 1 + cos ⁡ θ .

Ou seja, são áreas diferentes que vamos calcular nesses intervalos.

Vamos primeiro na área do intervalo de 0 , π 3 ...

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 3 3 2 2 d θ

A 1 = 1 2 9 4 π 3

A 1 = 9 π 24

Passo 3

Agora vamos pra área da região de π 3 ,   π ...

A 2 = 1 2 ∫ π 3 π 1 + cos ⁡ θ 2 d θ

= 1 2 ∫ π 3 π 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ

= 1 2 θ + 2 s e n   θ + θ 2 + s e n   2 θ 4 π 3 π

= 1 2 π + π 2 - π 3 - 3 - π 6 - 3

= 1 2 π - 9 3 8

A 2 = π 2 - 9 3 16

Passo 4

Beleza, a soma dessas duas áreas dá a área da parte de cima do gráfico, então pra acharmos a área total, é só a gente fazer:

A = 2 A 1 + A 2

A = 2 9 π 24 + π 2 - 9 3 16

A = 14 π - 9 3 8   u . a

Pronto! Essa é a área pedida😉

Resposta

A = 14 π - 9 3 8   u . a

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