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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.2 - Ex. 5

Calcular as integrais curvilíneas.

∫ C y ( x - z ) , onde C é a interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 9   e   x + z = 3 .

Passo 1

Vamos fazer a interseção primeiro. Vai ser:

z = 3 - x

Substituindo:

x 2 + y 2 + 3 - x 2 = 9

x 2 + y 2 + 9 - 6 x + x 2 = 9

2 x 2 - 6 x + y 2 = 0

Completamos os quadrados...

2 x 2 - 3 x + 9 4 - 9 4 + y 2 = 0

2 x - 3 2 2 + y 2 = 9 2

x - 3 2 2 9 4 + y 2 9 2 = 1

A interseção é uma elipse, que a gente pode parametrizar assim:

x = 3 2 + 3 2 cos ⁡ t y = 3 2 s e n   t z = 3 2 - 3 2 cos ⁡ t   ,   t ∈ 0,2 π

Passo 2

Fazemos a derivada e ficamos com:

γ ' t = - 3 2 s e n   t , 3 2 cos ⁡ t , 3 2 s e n   t

Aí a norma (que é o nosso d s ):

γ ' t = 9 2 s e n 2 t + 9 2 cos 2 ⁡ t = 9 2 = 3 2

Vamos montar a integral agora:

∫ 0 2 π 3 2 s e n   t   3 2 + 3 2 cos ⁡ t - 3 2 - 3 2 cos ⁡ t 3 2 d t

∫ 0 2 π 3 2 s e n   t 3 cos ⁡ t 3 2   d t

∫ 0 2 π 27 2 s e n   t cos ⁡ t   d t

27 2 s e n 2 t 2 0 2 π

= 0

(todo esse trabalho pra dar zero haha, aff...)

Pronto! É isso😉

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Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C 2 x - y + z d s , onde C é o segmento de reta que liga A ( 1,2 , 3 ) a B = 2,0 , 1 .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C 3 y - z d s , onde C é o arco da parábola z = y 2 ,x = 1 ,d eA 1,0 , 0 aB 1,2 , 4 .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C x zd s , onde C é a interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com o plano x = y .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C ( x 2 + y 2 - z )d s , onde C é a parte da interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 8 zez = 4