Calcular as integrais curvilíneas.

∫ C 2 x - y + z d s ,   onde C é o segmento de reta que liga A ( 1,2 , 3 ) a B = 2,0 , 1 .

Passo 1

A primeira coisa que a gente vai fazer é escrever equações paramétricas pra essa reta.

Fazendo o vetor A B → , a gente encontra:

A B → = ( 1 , - 2 , - 2 )

Daí, a gente escreve a reta como:

C = x = 1 + t y = 2 - 2 t z = 3 - 2 t

Temos que observar uma coisa importante! O valor de t está variando de 0 a 1, beleza? Podemos reparar nisso vendo os valores de x , y e z ... Sendo assim, já identificamos os nossos limites de integração!

Beleza, agora vamos para o d s ! Ele é a norma desse vetor, no caso:

d s = 1 2 - 2 2 + - 2 2 = 9 = 3

Passo 2

Vamos substituir tudo agora e calcular...

∫ 0 1 2 1 + t - 2 - 2 t + 3 - 2 t 3 d t

∫ 0 1 2 + 2 t - 2 + 2 t + 3 - 2 t 3 d t

∫ 0 1 2 t + 3 3 d t

∫ 0 1 6 t + 9   d t

6 t 2 2 + 9 t 0 1 = 3 + 9 = 12

Pronto! Esse é o resultado da integral😉

Resposta

12

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