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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.2 - Ex. 3

Calcular as integrais curvilíneas.

∫ C x z   d s ,   onde C é a interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com o plano x = y .

Passo 1

Vamos fazer a interseção da esfera com o plano:

y 2 + y 2 + z 2 = 4

2 y 2 + z 2 = 4

y 2 2 + z 2 4 = 1

Isso é uma elipse, a gente pode parametrizar assim:

x = 2 cos ⁡ t y = 2 cos ⁡ t z = 2 s e n   t

E o intervalo aqui é de [ 0,2 π ] .

A derivada dessa parametrização é:

- 2 s e n   t   d t ,   - 2 s e n   t   d t ,   2 cos ⁡ t   d t

Aí o d s é :

d s = - 2 s e n   t   d t 2 + - 2 s e n   t   d t 2 + 2 cos ⁡ t   d t 2

d s = 4 s e n 2 t + 4 cos 2 ⁡ t d t = 4 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t d t

d s = 4 d t = 2   d t

Passo 2

Montamos a integral nova agora...

∫ 0 2 π ( 2 cos ⁡ t ) ( 2 s e n   t )   2 d t

∫ 0 2 π 4 2 cos ⁡ t   s e n   t   d t

4 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ t   s e n   t   d t

4 2 s e n 2 2 0 2 π = 0

Prontinho😉

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