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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.2 - Ex. 2

Calcular as integrais curvilíneas.

∫ C 3 y - z d s ,   onde C é o arco da parábola z = y 2 ,   x = 1 ,   d e   A 1,0 , 0 a   B 1,2 , 4 .

Passo 1

Vamos começar parametrizando esse arco de parábola. Fazendo y = t , nós temos a parametrização:

γ t = 1 ,   t ,   t 2

Aqui a gente deriva e faz a norma, que é o nosso d s :

γ ' t = ( 0,1 , 2 t )

γ ' t = 0 2 + 1 2 + 2 t 2 = 1 + 4 t 2

Beleza, pelos pontos a gente vê que o intervalo de t é de 0   a   2 né?

Então é só montar a integral agora...

Passo 2

A integral nova fica assim:

∫ 0 2 3 t - t 2 1 + 4 t 2 d t

∫ 0 2 2 t 1 + 4 t 2 d t

Aqui a gente faz u = 1 + 4 t 2 e d u = 8 t   d t → d u 4 = 2 t   d t

Aí resolvemos em u ...

1 4 ∫ u   d u  

= 1 4 ∙ 2 3 u 3 2

Voltamos para a variável t ...

= 1 6 1 + 4 t 2 3 2 0 2

= 1 6 17 3 2 - 1

Prontinho😉

Resposta

1 6 17 3 2 - 1

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