Determinar o trabalho realizado pela força

f → ( x , y , z ) = x , 0,2 z

Para deslocar uma partícula ao longo da poligonal que une os pontos A = 0,0 , 0 ,   B = 0,1 , 0 ,   C = 0,1 , 1 ,   e   D = ( 1,1 , 1 ) no sentido de A   para D .

Passo 1

Vamos lá, trabalho a gente calcula usando a integral:

∫ a b F σ t ∙ σ ' t d t

Onde F é a força e σ ( t ) é o caminho parametrizado.

Aqui a gente tem uma região formada por 3 “linhas”, ou seja, 3 retas que a gente pode parametrizar. Uma que vi de A para B , outra que vai de B para C e outra de C   para D .

A gente pode calcular o trabalho gasto em cada reta (de um ponto a outro) e depois somar tudo.

Passo 2

Vamos ver primeiro a reta que passa por A   e   B :

r 1 :   x = 0 y = t z = 0       ,   t ∈ [ 0,1 ]

A derivada dessa parametrização é ( 0,1 , 0 ) . Então vamos aplicar na integral do trabalho:

∫ 0 1 0,0 , 0 0,1 , 0 d t

= 0

O trabalho nessa primeira é zero, vamos para a próxima...

Passo 3

Agora a reta que passa por B e C :

r 2 : x = 0 y = 1 z = t   ,     t ∈ [ 0,1 ]

A derivada é ( 0,0 , 1 ) , e o trabalho é:

∫ 0 1 ( 0,0 , 2 t )   0,0 , 1 d t

∫ 0 1 2 t   d t

= t 2 0 1 = 1

Ok, o trabalho aqui é 1 então.

Passo 4

Pra reta que passa por C   e   D agora:

r 3 : x = t y = 1 z = 2 ,     t ∈ [ 0,1 ]

A derivada é ( 1,0 , 0 ) . Aplicando na integral do trabalho...

∫ 0 1 t , 0,2 1 , 0,0 d t

∫ 0 1 t   d t

t 2 2 0 1 = 1 2

Prontinho! Essa foi a última.

Passo 5

Pra saber o trabalho realizado pela poligonal toda, é só somar os três valores:

W = 0 + 1 + 1 2

W = 3 2

Prontinho😉

Resposta

W = 3 2

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