Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 3

Determinar o trabalho realizado pela força

f → ( x , y , z ) = x , 0,2 z

Para deslocar uma partícula ao longo da poligonal que une os pontos A = 0,0 , 0 ,   B = 0,1 , 0 ,   C = 0,1 , 1 ,   e   D = ( 1,1 , 1 ) no sentido de A   para D .

Passo 1

Vamos lá, trabalho a gente calcula usando a integral:

∫ a b F σ t ∙ σ ' t d t

Onde F é a força e σ ( t ) é o caminho parametrizado.

Aqui a gente tem uma região formada por 3 “linhas”, ou seja, 3 retas que a gente pode parametrizar. Uma que vi de A para B , outra que vai de B para C e outra de C   para D .

A gente pode calcular o trabalho gasto em cada reta (de um ponto a outro) e depois somar tudo.

Passo 2

Vamos ver primeiro a reta que passa por A   e   B :

r 1 :   x = 0 y = t z = 0       ,   t ∈ [ 0,1 ]

A derivada dessa parametrização é ( 0,1 , 0 ) . Então vamos aplicar na integral do trabalho:

∫ 0 1 0,0 , 0 0,1 , 0 d t

= 0

O trabalho nessa primeira é zero, vamos para a próxima...

Passo 3

Agora a reta que passa por B e C :

r 2 : x = 0 y = 1 z = t   ,     t ∈ [ 0,1 ]

A derivada é ( 0,0 , 1 ) , e o trabalho é:

∫ 0 1 ( 0,0 , 2 t )   0,0 , 1 d t

∫ 0 1 2 t   d t

= t 2 0 1 = 1

Ok, o trabalho aqui é 1 então.

Passo 4

Pra reta que passa por C   e   D agora:

r 3 : x = t y = 1 z = 2 ,     t ∈ [ 0,1 ]

A derivada é ( 1,0 , 0 ) . Aplicando na integral do trabalho...

∫ 0 1 t , 0,2 1 , 0,0 d t

∫ 0 1 t   d t

t 2 2 0 1 = 1 2

Prontinho! Essa foi a última.

Passo 5

Pra saber o trabalho realizado pela poligonal toda, é só somar os três valores:

W = 0 + 1 + 1 2

W = 3 2

Prontinho😉

Resposta

W = 3 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule ∫ γ d x + y d y + d z onde γ é a interseção do plano y = x com a superfície z = x 2 + y 2 , z ≤ 2 , sendo o sentido de percurso do ponto - 1 , - 1,2 para o ponto 1,1 , 2 .
Calcule ∫ γ d x + d y + d z , onde γ é a interseção entre as superfícies y = x 2 e z = 2 - x 2 - y 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 e z ≥ 0 , sendo o sentido de percurso do ponto 1,1 , 0 para o ponto 0,0 , 2 .
Calcule ∫ γ xd x + yd y + z d z , onde γ é o segmento de extremidades 0,0 , 0 e 1,2 , 1 , percorridos no sentido de 1,2 , 1 para 0,0 , 0 .
Calcule ∫ γ xd x + d y + 2d z , onde γ é a interseção do paraboloidez = x 2 + y 2 com o plano z = 2 x + 2 y - 1 ; o sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ t , no plano x y
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .