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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 10

Calcular a integral indefinida.

int (d t)/(3 + s e n t + cos t)

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. Nesse caso a gente usa a substituição:

t = t g (u)/(2)

E com isso a gente tem que:

s e n t = (2 u)/(1 + u^2) ; cos t = (1 - u^2)/(1 + u^2) e d t = (2 d u)/(1 + u^2)

Passo 2

A gente substitui e fica com:

int ((2 d u)/(1 + u^2))/(3 + (2 u)/(1 + u^2) + (1 - u^2)/(1 + u^2))

= int ((2 d u)/(1 + u^2))/(((3 + 3 u^2 + 2 u + 1 - u^2))/(1 + u^2))

= int (2 d u)/(2 u^2 + 2 u + 4)

= int (d u)/(u^2 + u + 2)

Aqui a gente completa o quadrado:

= int (d u)/((u + (1)/(2))^2 + (7)/(4))

Passo 3

Aí integrando fica:

(1)/((sqrt(7))/(2)) a r c t g (u + (1)/(2))/((sqrt(7))/(2)) + C

(2)/(sqrt(7)) a r c t g (2 u + 1)/(sqrt(7)) + C

Só a gente voltar pra variável t agora:

(2)/(sqrt(7)) a r c t g ((2 (t g ((t)/(2)) + 1))/(sqrt(7))) + C

Prontinho! Essa é a integral😉

Resposta

(2)/(sqrt(7)) a r c t g ((2 (t g ((t)/(2)) + 1))/(sqrt(7))) + C

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