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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 6

Calcular a integral indefinida.

int (d x)/(1 - cos x)

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. A gente usa a substituição:

t = t g (x)/(2)

E com isso a gente tem que:

s e n x = (2 t)/(1 + t^2) ; cos x = (1 - t^2)/(1 + t^2) e d x = (2 d t)/(1 + t^2)

Vamos lá então...

Passo 2

Substituindo, fica assim:

int ((2 d t)/(1 + t^2))/(1 - (1 - t^2)/(1 + t^2))

Agora a gente vai simplificar...

= int ((2 d t)/(1 + t^2))/(((1 + t^2 - 1 + t^2))/(1 + t^2))

= int (2 d t)/(2 t^2)

= int (d t)/(t^2)

Agora tá mais bonitinho...

Passo 3

A gente integra e fica:

= - (1)/(t) + C

Só voltar pra variável x agora, galera!

= - (1)/(t g ((x)/(2))) + C

Prontinho😉

Resposta

- (1)/(t g ((x)/(2))) + C

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