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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 23

Calcular a integral indefinida.

int (d x)/(( x - 1 ) sqrt(x^2 - 2 x - 3))

Passo 1

Vamos lá, o trinômio de dentro do radical tem a > 0 . Nesse caso, a gente faz a substituição:

sqrt(x^2 - 2 x - 3) = x + t

Bora isolar o x ...

x^2 - 2 x - 3 = (x + t)^2

x^2 - 2 x - 3 = x^2 + 2 x t + t^2

- 2 x - 3 = 2 x t + t^2

x (- 2 - 2 t) = t^2 + 3

x = ((t^2 + 3))/(- 2 - 2 t)

x = (- 3 - t^2)/(2 + 2 t)

Passo 2

E agora a gente faz o d x :

d x = (- 2 t^2 - 4 t + 6)/((2 t + 2)^2) d t

E a raiz vai se tornar:

(- 3 - t^2)/(2 + 2 t) + (- 2 t^2 - 4 t + 6)/((2 t + 2)^2) = (t^2 + 2 t - 3)/(2 t + 2)

Vamos substituir na nossa integral agora...

int ((- 2 t^2 - 4 t + 6)/((2 t + 2)^2) d t)/(((- 3 - t^2)/(2 + 2 t) - 1) ((t^2 + 2 t - 3)/(2 t + 2)))

= int - (2 d t)/(- t^2 - 2 t - 5)

= int (2 d t)/(t^2 + 2 t + 5)

A gente pode completar o quadrado:

int (2 d t)/((x + 1)^2 + 4)

Passo 3

Agora a gente integra e fica:

a r c t g ((t + 1)/(2)) + C

Vamos voltar pra nossa variável x e...

= a r c t g ((sqrt(x^2 - 2 x - 3) - x + 1)/(2)) + C

Prontinho! Essa é a integral😉

Resposta

a r c t g ((sqrt(x^2 - 2 x - 3) - x + 1)/(2)) + C

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