Calcular a integral indefinida.

∫ d x ( x - 1 ) x 2 - 2 x - 3

Passo 1

Vamos lá, o trinômio de dentro do radical tem a > 0 . Nesse caso, a gente faz a substituição:

x 2 - 2 x - 3 = x + t

Bora isolar o x ...

x 2 - 2 x - 3 = x + t 2

x 2 - 2 x - 3 = x 2 + 2 x t + t 2

- 2 x - 3 = 2 x t + t 2

x - 2 - 2 t = t 2 + 3

x = t 2 + 3 - 2 - 2 t

x = - 3 - t 2 2 + 2 t

Passo 2

E agora a gente faz o d x :

d x = - 2 t 2 - 4 t + 6 2 t + 2 2   d t

E a raiz vai se tornar:

- 3 - t 2 2 + 2 t + - 2 t 2 - 4 t + 6 2 t + 2 2 = t 2 + 2 t - 3 2 t + 2

Vamos substituir na nossa integral agora...

∫ - 2 t 2 - 4 t + 6 2 t + 2 2 d t - 3 - t 2 2 + 2 t - 1 t 2 + 2 t - 3 2 t + 2

= ∫ - 2 d t - t 2 - 2 t - 5

= ∫ 2 d t t 2 + 2 t + 5

A gente pode completar o quadrado:

∫ 2 d t x + 1 2 + 4

Passo 3

Agora a gente integra e fica:

a r c t g   t + 1 2 + C

Vamos voltar pra nossa variável x e...

= a r c t g   x 2 - 2 x - 3 - x + 1 2 + C

Prontinho! Essa é a integral😉

Resposta

a r c t g   x 2 - 2 x - 3 - x + 1 2 + C

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