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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 12

Calcular a integral indefinida.

int (cos theta)/(1 + cos theta) d theta

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. Nesse caso aqui vai ficar

t = t g (theta)/(2)

E com isso a gente tem que:

s e n theta = (2 t)/(1 + t^2) ; cos theta = (1 - t^2)/(1 + t^2) e d theta = (2 d t)/(1 + t^2)

Passo 2

Substituindo vai ficar assim:

int ((1 - t^2)/(1 + t^2))/(1 + (1 - t^2)/(1 + t^2)) * (2 d t)/(1 + t^2)

Vamos arrumar isso aí agora:

int ((1 - t^2)/(1 + t^2))/((1 + t^2 + 1 - t^2)/(1 + t^2)) * (2 d t)/(1 + t^2)

int (1 - t^2)/(2) * (2 d t)/(1 + t^2)

int (1 - t^2)/(1 + t^2) d t

Chegamos nessa integral aí agora, bem mais bonitinha...

Passo 3

A gente tem o mesmo grau na função de cima e na debaixo, então vamos dividir pra ficarmos com uma fração própria. Vai ficar assim:

int - 1 + (2)/(1 + t^2) d t

Beleza, agora ficou fácil de integrar. Dá isso aqui:

= - t + 2 a r c t g t + C

Ótimo! Agora é só voltar pra variável inicial:

= - t g (theta)/(2) + 2 a r c t g (t g (theta)/(2)) + C

= - t g (theta)/(2) + theta + C

Prontinho😉

Resposta

- t g (theta)/(2) + theta + C

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5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.14. ∫ 1 - π 1 + π s e c 2 1 4 x - 1 4 d
1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.4. b) ∫ 1 e d x x 1 - ln ⁡ x 2 ; u = ln ⁡ x
1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.1. c) ∫ - 1 2 1 2 cos ⁡ π θ d θ ; u = π θ
5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.10. ∫ - 3 0 x 1 - x d x
1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.3. b) ∫ e e 2 ln ⁡ x x d x ; u = ln ⁡ x