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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 3

Calcular a integral indefinida.

int (2 d x)/(s e n x + t g x)

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. A gente usa a substituição:

t = t g (x)/(2)

E com isso a gente tem que:

s e n x = (2 t)/(1 + t^2) ; cos x = (1 - t^2)/(1 + t^2) e d x = (2 d t)/(1 + t^2)

Vamos lá então...

Passo 2

Substituindo, fica assim:

I = int (2 ((2 d t)/(1 + t^2)))/((2 t)/(1 + t^2) + (2 t)/(1 + t^2) * (1 + t^2)/(1 - t^2))

Vamos desenvolver isso aí agora...

= int (4 d t)/(( 1 + t^2 ) (2 t (1 - t^2) + 2 t ( 1 + t^2 ))/(( 1 + t^2 ) ( 1 - t^2 )))

= int (4 d t)/((2 t - 2 t^3 + 2 t + 2 t^3)/(1 - t^2))

= int 4 d t * ((1 - t^2))/(4 t)

= int ((1 - t^2) d t)/(t)

Agora tá mais bonitinho...

Passo 3

A gente integra e fica:

= ln |t| - (t^2)/(2) + C

Aí é só voltar pra variável x :

= ln |t g ((x)/(2))| - (t g^2 ((x)/(2)))/(2) + C

Prontinho😉

Resposta

ln |t g ((x)/(2))| - (t g^2 ((x)/(2)))/(2) + C

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