Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 3b
Calcular a integral , onde é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto a .
Passo 1
Olá amiguinhos ...
Vamos calcular nosso problema de uma maneira bastante simples. Sabendo o ponto inicial,, e o ponto final,, podemos tomar que
Ficando apenas necessário determinarmos
Passo 2
Vamos assumir inicialmente que o rotacional de seja nulo, condição necessária para que exista a . Nossa suposição vem do enunciado já nos dá as ferramentas para calcular a integral. Mas caro aluno. Esse é um passo que é simples e eu tenho toda certeza que vocês conseguem. Acompanhe os Exercício 2(a,b,c,d,e) caso tenham dúvida.
Dada uma função potencial, temos que a campo vetorial é definido como
Assim vamos seguir o caminho reverso para calcular nossa função potencial .
A ideia é, quando aplicamos o gradiente ,, temos
Assim fazemos
Onde é uma constante que depende somente de e .
A ideia é, se derivarmos o que acabamos de encontrar deveríamos obter a componente do nosso campo. Então vamos derivar
O que nos leva a conclusão de que , ou seja, nossa constante não depende de .
Agora se derivarmos em relação a , devemos encontrar o valor de
E
Assim nossa função potencial é
Passo 3
Para calcular o trabalho, tomamos a integral, onde e