Verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Em caso positivo, determinar uma função potencial para f → e o valor ∫ ( 0,0 , 0 ) ( a , b , c ) f → ⋅ d r → , onde a , b , c ∈   R

f → x , y , z = 3 x 2 + y , 4 y 2 + 2 x , 8 x y

Passo 1

Olá amiguinhos ...

Teremos que, para que um campo vetorial ser conservativo, uma das condições é que o rotacional seja nulo. Corrigindo um possível erro que o enunciado nos dá, é que somente saberemos se o caso é afirmativo se existir a função potencial, logo não podemos confirmar antes de procurá-la. Mas vamos começar.

O rotacional é definido como

∇ × f → = d e t i ^ j ^ k ^ ∂ / ∂ x ∂ / ∂ y ∂ / ∂ z f x f y f z

= ∂ f z ∂ y - ∂ f y ∂ z i ^ - ∂ f z ∂ x - ∂ f x ∂ z j ^ + ∂ f y ∂ x - ∂ f x ∂ y k ^

Caso o rotacional for zero, seguimos o passo a passo para determinar a função potencial durante nosso exercício, ok?

Passo 2

Vamos calcular o rotacional da função dada

∇ × f → = ∂ ( 8 x y ) ∂ y - ∂ ( 4 y 2 + 2 x ) ∂ z i ^ - ∂ ( 8 x y ) ∂ x - ∂ ( 3 x 2 + y ) ∂ z j ^ + ∂ ( 4 y 2 + 2 x ) ∂ x - ∂ ( 3 x 2 + y ) ∂ y k ^  

= 8 x - 0 i ^ - 8 y - 0 j ^ + 2 - 1 k ^ ≠ 0

O que mostra que a condição necessária para que o campo seja conservativo não é válida, logo o campo não é conservativo

Resposta

Não é conservativo

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