Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 4a
Verificar que as integrais são independentes do caminho de integração e determinar seus valores.
Passo 1
Olá amiguinhos ...
Para verificar se a integral independe do caminho, é necessário que o campo potencial que gera o campo vetorial seja conservativo, ou seja, e que exista o campo potencial .
Assim iremos usar a integral a baixo para determinar seus valores.
Passo 2
Vamos primeiro calcular o rotacional de nossa . E você deve estar se perguntando, que ?
Olhando para nossa integral, temos que nossa é
E o rotacional é
O que nos sugere que pode ser um campo conservativo, e consequentemente independente do caminho.
Dada uma função potencial, temos que a campo vetorial é definido como
Assim vamos seguir o caminho reverso para calcular nossa função potencial .
A ideia é, quando aplicamos o gradiente ,, temos
Assim fazemos
Onde é uma constante que depende somente de y.
A ideia é, se derivarmos o que acabamos de encontrar deveríamos obter a componente do nosso campo. Então vamos derivar
Assim nossa função potencial é
Passo 3
Para calcular o trabalho, tomamos a integral, onde e