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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 08

Encontre a massa de uma helicoide

r r , θ = t cos ⁡ θ i + ( r sin ⁡ θ ) j + θ k ,

0 ≤ r ≤ 1 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π , se a função densidade for δ x , y , z = 2 x 2 + y 2

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Sabendo que r r , θ = t cos ⁡ θ i + ( r sin ⁡ θ ) j + θ k , e que suas variaveis vão ser 0 ≤ r ≤ 1 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ,

Aplicando a rotacional

Com isso vamos ter que,

sin ⁡ θ i - cos ⁡ θ j + r k →   r r   x   r θ = 1 + r 2 ,

δ = 2 x 2 + y 2 = 2 r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ = 2 r

m a s s a = ∫ ∫ S δ x , y , z d σ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 1 + r 2 d r d θ

∫ 0 2 π 2 3 1 + r 2 3 2 0 1 d θ = ∫ 0 2 π 2 3 2 2 - 1   d θ = 4 π 3 ( 2 2 - 1 )

Resposta

4 π 3 ( 2 2 - 1 )

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Verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Em caso positivo, determinar uma função potencial para f → e o valor ∫ ( 0,0 , 0 ) ( a , b , c ) f → ⋅ d r → , onde a , b , c ∈R f → x , y , z = x +
Calcular a integral ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto A ( 1,1 , 0 ) a B 1,2 - 1 . f → = 2 x 2 y + y 2 + z i ^ + 2 3 x 3 + 2 x y + z 2 j ^
26. Calcular a integral I = ∫ C [ x e x d x - ( x + 2 y ) d y ] , onde C é:a) o segmento de reta de ( 0,0 ) a ( - 1 , - 2 ) :
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:25. ∫ C y e x y d x , onde C é dada por y = x 2 , x ∈ [ - 1,0 ] .
7. Determinar o trabalho realizado pela força conservativa f → = y z , x z , x y + 1 nos seguintes deslocamentos:(c) ao longo do caminho fechado formado pelas curvas y = x 2 e x = y 2 , no sentido ant