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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 3.7 - Ex. 21o

Calcular os limites seguintes:

o) underset([[x -> 1],[y -> 1]])(lim) (x y - y) sen (1)/(x - 1) cos (1)/(y - 1)

Passo 1

Queremos então calcular o underset([[x -> 1],[y -> 1]])(lim) (x y - y) sen (1)/(x - 1) cos (1)/(y - 1) . Não conseguimos calcular o limite diretamente, então podemos usar a proposição 3.3 . 6 par dizer que esse limite é zero. Podemos reescrever o limite da seguinte maneira:

underset([[x -> 1],[y -> 1]])(lim) (x y - y) sen (1)/(x - 1) cos (1)/(y - 1) = underset([[x -> 1],[y -> 1]])(lim) (x y - y) * underset([[x -> 1],[y -> 1]])(lim) sen (1)/(x - 1) cos (1)/(y - 1)

Temos que:

underset([[x -> 1],[y -> 1]])(lim) (x y - y) = 0

Sabemos que uma função f (t) = sen t é limita de - 1 a 1 , assim como uma função f (t) = cos t . Temos que não é diferente para a função f (y) = cos (1)/(y - 1) e pra a função f (x) = sen (1)/(x - 1) . Também sabemos que a multiplicação de duas funções limitadas também é limitada.

Logo, pela proposição 3.3 . 6 temos que:

underset([[x -> 1],[y -> 1]])(lim) (x y - y) sen (1)/(x - 1) cos (1)/(y - 1) = 0

Resposta

underset([[x -> 1],[y -> 1]])(lim) (x y - y) sen (1)/(x - 1) cos (1)/(y - 1) = 0

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