Calcular os limites seguintes:

m) underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (x y^2)/(x^2 + y^2)

Passo 1

Queremos então calcular o underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (x y^2)/(x^2 + y^2) . Se tentarmos calcular o limite diretamente, perceberemos que resulta em uma indeterminação. Usando a proposição 3.3 . 6 podemos dizer que underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (x y^2)/(x^2 + y^2) = 0 . Podemos reescrever o limite da seguinte maneira:

underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (x y^2)/(x^2 + y^2) = underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) x * underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (y^2)/(x^2 + y^2)

Temos que:

underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) x = 0

Agora precisamos provar que a função f (x , y) = (y^2)/(x^2 + y^2) é limitada. Temos que:

|(y^2)/(x^2 + y^2)| = (y^2)/(x^2 + y^2)

Podemos dizer que:

y^2 <= x^2 + y^2

Com isso podemos dizer então que:

|(y^2)/(x^2 + y^2)| <= (x^2 + y^2)/(x^2 + y^2)

|(y^2)/(x^2 + y^2)| <= 1

Como underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) x = 0 e f (x , y) = (y^2)/(x^2 + y^2) é limitada, então pela proposição 3.3 . 6 temos que:

underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (x y^2)/(x^2 + y^2) = 0

Resposta

underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (x y^2)/(x^2 + y^2) = 0

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