Calcular os limites seguintes:

k) lim x → 0 y → 0 ⁡ cos ⁡ x 3 x 2 + y 2  

Passo 1

Queremos então calcular o lim x → 0 y → 0 ⁡ cos ⁡ x 3 x 2 + y 2   . Se tentarmos calcular o limite diretamente, perceberemos que resulta em uma indeterminação. Podemos reescrever esse limite da seguinte forma:

cos ⁡ lim x → 0 y → 0 ⁡ x 3 x 2 + y 2  

Usando a proposição 3.3 . 6 podemos dizer que lim x → 0 y → 0 ⁡ x 3 x 2 + y 2   = 0 . Podemos reescrever o limite da seguinte maneira:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 3 x 2 + y 2   = lim x → 0 y → 0 ⁡ x ⋅ lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 x 2 + y 2

Temos que:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x = 0

Agora precisamos provar que a função f x , y = x 2 x 2 + y 2 é limitada. Temos que:

x 2 x 2 + y 2 = x 2 x 2 + y 2

Podemos dizer que:

x 2 ≤ x 2 + y 2

Com isso podemos dizer então que:

x 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2

x 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Como lim x → 0 y → 0 ⁡ x = 0 e f x , y = x 2 x 2 + y 2 é limitada, então pela proposição 3.3 . 6 temos que:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 3 x 2 + y 2   = 0

Assim calculando o cosseno do limite encontrado temos:

cos ⁡ 0 = 1

Com isso podemos dizer que:

lim x → 0 y → 0 ⁡ cos ⁡ x 3 x 2 + y 2   = 1

Resposta

lim x → 0 y → 0 ⁡ cos ⁡ x 3 x 2 + y 2   = 1

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