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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.13 - Ex. 5

Calcular

∫ ∫ S f → *   n →   d S    

Sendo f → = x   i → + y   j → +   z k → e S a parte do plano 2 x + 3 y + 4 z = 12 cortada pelos planos x   = 0 ,   y = 0 ,   x = 1 ,   y = 2 e n → é a normal com componente z não negativa

Passo 1

ϕ =   ∫ ∫ S f x , y , z * ∇ → g ∇ → g   d A    

Sabemos que nosso g é

g   :     2 x + 3 y + 4 z - 12   = 0

E que nossa função de densidade é

f = x ,   y , z

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de g

∇ → g = 2,3 , 4

∇ → g = 4 + 9 + 16

∇ → g = 29

Passo 3

Agora que já fizemos todas as partes pequenas, Vamos unir isso tudo na nossa integral

∫ ∫ S f x , y , z * ∇ → g ∇ → g   d A    

∫ ∫ S x ,   y , z * 2,3 , 4 29   d A    

= 1 29 ∫ ∫ S 2 x + 3 y + 4 z   d A    

Vamos precisar projetar z no plano XY, usando a equação do plano

2 x + 3 y + 4 z - 12   = 0

4 z = 12 - 2 x - 3 y

= 1 29 ∫ ∫ S 2 x + 3 y + 12 - 2 x - 3 y   d A    

=   1 29 ∫ ∫ S 12 d A    

E nosso intervalos de integração são ditos pelo enunciado “S a parte do plano 2 x + 3 y + 4 z = 12 cortada pelos planos x   = 0 ,   y = 0 ,   x = 1 ,   y = 2 ”

0 < x < 1

0 < y < 2

1 29 ∫ 0 2 ∫ 0 1   12     d x d y

Como nossa função não depende de x e nem de y podemos integrar e obter:

= 1 29 ∙ 12 ∙ 1 ∙ 2   = 24 29

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S f → *   n →   d S = 24 29      

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