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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 37

Determine uma fórmula para ∬ S F → ⋅ d S → semelhante à fórmula 10 para o caso onde S é dado por y = h ( x , z ) e n → é o vetor normal unitário que aponta para a esquerda.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? De maneira semelhante à fórmula 10 , temos que a superfície vai ser dada por:

y = h ( x , z )

E a função f ( x , y , z ) vai ser:

f x , y , z = y - h x , z = 0

Passo 2

Sendo assim o vetor normal n → à essa superfície é dado por:

n → = ∇ f ( x , y , z ) | ∇ f ( x , y , z ) |

Aplicando na função f   definida no passo anterior temos:

n → = - ∂ h ∂ x ,   1 , - ∂ h ∂ z - ∂ h ∂ x 2 + 1 + - ∂ h ∂ z 2

E o vetor que aponta para a esquerda é – n → :

- n → = ∂ h ∂ x ,   - 1 , ∂ h ∂ z - ∂ h ∂ x 2 + 1 + - ∂ h ∂ z 2

Passo 3

Legal! O próximo passo é definir o vetor F → :

F → = P i → + Q j → + R k →

Beleza! Agora é só prosseguir como no livro texto!

Passo 4

Vamos colocar tudo na integral!

∬ S F → ⋅ d S → = ∬ S F → ⋅ n → d S = ∬ S P , Q , R ⋅ ∂ h ∂ x ,   - 1 , ∂ h ∂ z - ∂ h ∂ x 2 + 1 + - ∂ h ∂ z 2 . ∂ h ∂ x 2 + 1 + ∂ h ∂ z 2 d A

Simplificando os radicais ficamos e fazendo o produto escalar temos:

∬ S F → ⋅ n → d S = ∬ D P ∂ h ∂ x - Q + R ∂ h ∂ z d A

Certo! É bem isso que queríamos mostrar! Vamos pra próxima?

Resposta

∬ S F → ⋅ n → d S = ∬ D P ∂ h ∂ x - Q + R ∂ h ∂ z d A

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