Calcule a integral de superfície para o campo vetorial e superfície orientada . Em outras palavras, determine o fluxo de através de . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).

é o hemisfério com orientação para cima.

Vamos encontrar nossas derivadas parciais:

• Derivando em , tratando como constante:
• Derivando em , tratando como constante:

Como nossa função campo é:

Suas componentes são:

Então, nossa equação:

Se torna:

Somando os termos:

Sobra então:

Podemos substituir:

E temos:

Bom, ainda faltam nossos limites de integração. Como nossa região é o hemisfério , estamos lidando com a metade de uma esfera. No plano , teremos uma região circular, por isso facilita se usarmos coordenadas polares.

Fazendo para acharmos a equação no plano :

Elevando tudo ao quadrado para eliminar a raiz:

Então, temos a circunferência inteira, centrada na origem, de raio :

Então nossos limites de integração são:

Nossa função do integrando fica:

E nossa integral é:

Resolvendo finalmente nossa integral:

Separando no produto de duas integrais:

Integrando em e aplicando os limites, já integrando também em :

Aplicando os limites em :

Então: