Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.7 - Ex. 47
A temperatura de um ponto em uma substância com condutividade é . Determine a taxa de transmissão de calor nessa substância para dentro da superfície cilíndrica .
Passo 1
Fala, galera! Beleza?
A questão quer a taxa de transmissão de calor de uma substância com condutividade e temperatura no ponto de:
Dentro da superfície cilíndrica
Pra calcular a taxa de transmissão de calor precisamos calcular antes de tudo o gradiente de Relembrando que o gradiente de uma função escalar é
A equação para o cálculo da taxa é:
O enunciado nos deu o valor da constante
Então precisamos achar o vetor que vem da parametrização do nosso cilindro e suas derivadas parciais e . Fazemos o produto vetorial entre esses dois vetores e fazemos o produto escalar entre eles e o vetor gradiente da nossa função temperatura . Por fim, substituímos tudo na nossa equação e calculamos a integral dupla!
Vamos lá, então!
Passo 2
Vamos começar calculando o gradiente da função :
Aplicando na equação do gradiente:
Realizando as derivadas parciais, temos:
E o valor de é:
Show!
Passo 3
Vamos parametrizar a superfície:
Para parametrizar a superfície cilíndrica podemos usar as coordenadas cilíndricas. Para um cilindro em função de e :
Como temos um cilindro de raio nas coordenadas e , e é livre, podendo valer de até uma parametrização possível é:
Com os parâmetros e entre:
Então, o vetor é o vetor composto pelas equações paramétricas:
Substituindo as equações paramétricas:
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas parciais de :
- : derivada de em relação a , tratando como constante:
- : derivada de em relação a , tratando como constante:
Então:
Então:
E o produto vetorial entre eles é:
Calculamos o produto vetorial tirando o determinante das matrizes que obtemos eliminando a linha e a coluna da componente que estamos procurando:
Tirando o determinante de cada componente:
O diferencial de área vai ser:
Fazendo o produto escalar:
Ficamos com:
E o produto escalar entre o vetor e é:
Então:
Pronto! Agora vamos jogar tudo isso na integral!
Passo 5
Legal! O próximo passo é substituir tudo na integral. A taxa de transmissão de calor é:
Substituindo os valores que encontramos:
Show! Essa é a resposta! Vamos pra próxima questão?