Dada a equação vetorial

r(u, v) = (u * cos(v), u * sen(v), u^2)

Eliminar os parâmetros u e v determinando a equação cartesiana da superfície

Passo 1

Dada uma função, buscamos parametrizar nossa equação a partir de suas componentes. Neste caso foram escolhidos

x = u cos ⁡ v

y = u   s e n   v

z = u 2

Assim vamos buscar uma forma de relacionar nossas equações e vê no que dá

Passo 2

Quero sumir com um cosseno e um seno, OMG, como faço? Já pensou em elevar os dois ao quadrado e soma-los?

Então vamos fazer

x 2 + y 2 = u cos ⁡ v 2 + u   s e n   v 2 = u 2 = z

Que nos leva a equação do paraboloide. Beleza?

Resposta

x 2 + y 2 = z

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