Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 25
Calcule as aproximações , , e para , e . Então calcule os erros correspondentes , , e . (Arredonde seus resultados para seis casas decimais. Você pode usar o comando soma em um sistema de computação algébrica.) Quais observações você pode fazer? Em particular, o que acontece aos erros quando é dobrado?
Passo 1
Temos o intervalo , e vamos usar , e com temos que :
Primeiro vamos achar a aproximação a esquerda , onde os dos pontos são o ponto a esquerda em cada intervalo:
Agora vamos achar a aproximação a direita , onde os dos pontos são o ponto a direita em cada intervalo:
Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:
Agora vamos achar a aproximação do ponto médio , onde os dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:
Passo 2
Para achar os erros precisamos do valor real da integral:
Vamos agora achar os erros de , , e :
Passo 3
Agora com , e com o intervalo , com temos que :
Primeiro vamos achar a aproximação a esquerda , onde os dos pontos são o ponto a esquerda em cada intervalo:
Agora vamos achar a aproximação a direita , onde os dos pontos são o ponto a direita em cada intervalo:
Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:
Agora vamos achar a aproximação do ponto médio , onde os dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:
Passo 4
Vamos agora achar os erros de , , e :
Passo 5
Agora com , e com o intervalo , com temos que :
Primeiro vamos achar a aproximação a esquerda , onde os dos pontos são o ponto a esquerda em cada intervalo:
Agora vamos achar a aproximação a direita , onde os dos pontos são o ponto a direita em cada intervalo:
Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:
Agora vamos achar a aproximação do ponto médio , onde os dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:
Passo 6
Vamos agora achar os erros de , , e :
Passo 7
Podemos perceber que e têm sempre sinais opostos, assim como e .
A Regra do ponto médio é aproximadamente duas vezes mais precisa que a aproximação do Trapézio.
Todas as aproximações se tornam mais precisas a medida que aumenta.
As aproximações do Ponto Médio e do Trapézio são muito mais precisas que a do Ponto Médio.
Quando dobramos e diminuem a um fator de , e e diminuem a um fator de .
Resposta
, , e
, , e para
, , e
, , e para
, , ,
, , e para