Suponha que 0 < c < π / 2 . Para qual valor de c a área da região limitada pelas curvas y = cos ⁡ x , y = cos ⁡ x - c e x = 0 é igual à área da região limitada pelas curvas y = cos ⁡ x - c , x = π e y = 0 ?

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos encontrar o valor de c para que a área limitada pelas curvas y = cos ⁡ x , y = cos ⁡ x - c e x = 0 seja igual a área limitada pelas curvas y = cos ⁡ x - c , x = π e y = 0 .Para isso, utilizaremos os conceitos de áreas entre curvas.

Passo 2

Com base na definição de área entre curvas, temos que

A = ∫ 0 c / 2 cos ⁡ x - cos ⁡ x - c d x

A = - ∫ π 2 + c π cos ⁡ x - c d x

Dessa forma, temos que

∫ 0 c / 2 cos ⁡ x - cos ⁡ x - c d x = - ∫ π 2 + c π cos ⁡ x - c d x

Passo 3

Resolvendo a integral, temos

∫ 0 c / 2 cos ⁡ x - cos ⁡ x - c d x = - ∫ π 2 + c π cos ⁡ x - c d x

s e n   x - s e n   x - c 0 c / 2 = - s e n   x - c π 2 + c π

2 s e n   c / 2 - s e n   c = - s e n   c + 1

Resolvendo a equação, temos que

c = π 3

Resposta

c = π 3

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